গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৩ জন। শর্টকাট নিয়মে যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে মোট ফেলের হার বের করে তা ১০০% থেকে বিয়োগ করলেই সহজে উত্তর পাওয়া যায়:

• মোট ফেলের হার = $(52 + 42 - 17)\% = 77\%$
• অতএব, উভয় বিষয়ে পাসের হার = $(100 - 77)\% = 23\%$

শতকরা হিসেবে ১০০ জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে ২৩% অর্থাৎ ২৩ জন উভয় বিষয়ে পাস করেছে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৫ টাকা। খুব সহজে ও শর্টকাটে হিসাবটি করে ফেলা যায়:

• ৭৫০ টাকায় ২০% দাম বাড়ার অর্থ হলো মোট বৃদ্ধি পাওয়া টাকার পরিমাণ = $750 \times \frac{20}{100} = 150$ টাকা।
• এই বাড়তি $150$ টাকার কারণেই মূলত $5$ কেজি চাল কম পাওয়া যাচ্ছে। অর্থাৎ, চালের বর্তমান দাম $5$ কেজির জন্য $150$ টাকা।
• সুতরাং, ১ কেজি চালের বর্তমান দাম = $\frac{150}{5} = 30$ টাকা।
• দাম ২০% বৃদ্ধি পাওয়ায় বর্তমান দাম হলো পূর্বমূল্যের ১২০%।
• অতএব, ১ কেজি চালের পূর্বমূল্য ছিল = $\frac{30 \times 100}{120} = 25$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 5000 টাকা। হিসাবটি খুবই সহজ:

• ধরে নিই, পূর্বের বেতন ছিলো $100\%$।
• $15\%$ বৃদ্ধিতে বর্তমান বেতন দাঁড়ায় $(100 + 15)\% = 115\%$।
• প্রশ্নানুসারে, $115\% = 5750$ টাকা।
• তাহলে, পূর্বের বেতন ($100\%$) = $\frac{5750 \times 100}{115} = 5000$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩০ দিন। লোকসংখ্যা বাড়লে খাবার দ্রুত শেষ হয়ে যায়, অর্থাৎ এটি একটি ব্যস্তানুপাতিক সম্পর্ক।

আমরা খুব সহজেই ঐকিক নিয়মে বা শর্টকাটে এটি সমাধান করতে পারি:

• ১ জন লোকের খাদ্য চলবে $= 15 \times 40$ দিন
• অতএব, ২০ জন লোকের খাদ্য চলবে $= \frac{15 \times 40}{20} = 30$ দিন

সুতরাং, ঐ পরিমাণ খাদ্যে ২০ জন লোকের মোট ৩০ দিন চলবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২০ দিন। ঐকিক নিয়মে বা সহজ যুক্তিতে হিসাবটা করে ফেলা যায়:

• ১০ জনের খাবার আছে ৩০ দিনের, তাই মোট খাবারের পরিমাণ $= 10 \times 30 = 300$ জন-দিনের।
• নতুন ৫ জন অতিথি আসায় মোট লোকসংখ্যা দাঁড়ায় $= 10 + 5 = 15$ জন।
• সুতরাং, ১৫ জন মানুষের ঐ খাবার মোট চলবে $= \frac{300}{15} = 20$ দিন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৫ দিন। বিষয়টিকে ব্যস্তানুপাতিক নিয়মে খুব সহজেই চিন্তা করা যায়—লোকসংখ্যা বাড়লে দিনের সংখ্যা কমে যাবে।

• ১৫ জন লোকের খাবার চলে $40$ দিন।
• তাহলে ১ জন লোকের সেই খাবার চলবে $(15 \times 40)$ দিন।
• সুতরাং ৪০ জন লোকের খাবার চলবে: $$\frac{15 \times 40}{40} = 15$$ দিন।

সহজ ট্রিক: উপর-নিচের $40$ কেটে দিলে সরাসরি উত্তর থাকে ১৫ দিন।

এখানে মোট আয়ের পরিমাণ (১,৮০০ টাকা) অপরিবর্তিত থাকায় শ্রমিকের সংখ্যার সাথে দিনের সম্পর্কটি ব্যস্তানুপাতিক। অর্থাৎ, শ্রমিক বাড়লে একই আয় করতে সময় কম লাগবে।

সহজ শর্টকাট সূত্র $M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$ প্রয়োগ করে সহজেই উত্তর বের করা যায়:

• $6 \times 5 = 10 \times D_2$
• $30 = 10 \times D_2$
• $D_2 = \frac{30}{10} = 3$

সুতরাং, ১০ জন শ্রমিক সমপরিমাণ টাকা আয় করতে সময় নেবে ৩ দিন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৭২০ ডিগ্রী। হিসাবটি খুবই সহজ:

• আমরা জানি, একটি চাকা $1$ বার পূর্ণ ঘুরলে $360^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।
• চাকাটি $1$ মিনিট বা $60$ সেকেন্ডে ঘোরে $120$ বার।
• অতএব, $1$ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে $\frac{120}{60} = 2$ বার।
• সুতরাং, $1$ সেকেন্ডে চাকাটি মোট ঘোরে $2 \times 360^\circ = 720^\circ$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $-4 \le x \le 4$। কারণ পরমমানের (Absolute Value) অসমতা সমাধানের নিয়মটি খুবই সহজ।

যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যা $a$ এর জন্য সাধারণ নিয়মটি হলো:

• যদি $|x| \le a$ দেওয়া থাকে, তবে পরমমান তুলে দিলে লেখা যায়: $$-a \le x \le a$$
• অতএব, $|x| \le 4$ অসমতাটির ক্ষেত্রে $a = 4$ বসিয়ে পাই: $$-4 \le x \le 4$$

সহজ কথায়, $x$ এর মান $-4$ এর থেকে ছোট হতে পারবে না এবং $+4$ এর থেকে বড় হতে পারবে না, অর্থাৎ মানটি $-4$ থেকে $+4$ সীমার ভেতরেই থাকবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 4.24। বিষয়টি খুব সহজেই হিসাব করা যায়:

• প্রথমে $\sqrt{18}$-কে ভেঙে লিখলে পাই: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
• আমরা জানি, $\sqrt{2}$-এর মান হলো $1.414$ (প্রায়)
• সুতরাং, $3 \times 1.414 = 4.242$, যা আসন্ন মান হিসেবে দাঁড়ায় 4.24