গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪০০ টাকা। অংকটি একটি সহজ শর্টকাটের মাধ্যমে খুব দ্রুত সমাধান করা যায়:

১০% ক্ষতি কাটিয়ে ১০% লাভে পৌঁছাতে মোট শতকরা পার্থক্যের প্রয়োজন: $10\% + 10\% = 20\%$।

প্রশ্নমতে, বিক্রয়মূল্যের এই $20\%$ পার্থক্যের মানই হলো $80$ টাকা।

এখন, দ্রব্যটির সম্পূর্ণ ক্রয়মূল্য ($100\%$) হিসাব করি:

• $1\%$ এর মান = $\frac{80}{20} = 4$ টাকা
• ক্রয়মূল্য বা $100\%$ এর মান = $4 \times 100 = 400$ টাকা

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: $\{1, 2, 3, a, b\}$।

কারণ ইউনিয়ন বা সংযোগ সেট ($A \cup B$) মানে হলো দুটি সেটের সব উপাদানকে একসাথে নেওয়া, তবে কোনো উপাদান দুইবার লেখা যাবে না।

• সেট $A = \{1, 2, 3\}$
• সেট $B = \{3, a, b\}$

এখানে $3$ সংখ্যাটি উভয় সেটেই রয়েছে, তাই এটি একবারই বসবে। অতএব, উপাদানগুলো একসাথে সাজালে পাই: $A \cup B = \{1, 2, 3, a, b\}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\emptyset$ (ফাঁকা সেট)।

কারণটা খুব সহজ! ইন্টারসেকশন ($\cap$) চিহ্নের কাজ হলো দুটি সেটের মধ্যে যে উপাদানগুলো কমন (সাধারণ) আছে, শুধু সেগুলোকে নেওয়া।

• প্রথম সেট, $x = \{1, 2, 3\}$
• দ্বিতীয় সেট, $y = \{4, 5, 6\}$

খেয়াল করে দেখো, $x$ এবং $y$ সেটের মধ্যে কোনো উপাদানের মিল নেই। দুটি সেটের মধ্যে কোনো কমন উপাদান না থাকলে তাদের ফলাফল হয় ফাঁকা সেট, যাকে $\emptyset$ চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়। তাই $x \cap y = \emptyset$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: {1, 3, 5}।

কোনো সেটের পূরক সেট (Complement Set) বের করার সহজ নিয়ম হলো সার্বিক সেট $U$ থেকে ওই সেটের উপাদানগুলোকে বাদ দিয়ে দেওয়া। অর্থাৎ $A' = U \setminus A$।

• সার্বিক সেট, $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
• দেওয়া আছে, $A = \{2, 4, 6\}$
• সুতরাং, $A' = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \setminus \{2, 4, 6\} = \{1, 3, 5\}$

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: $\{5\}$।

পূরক সেট ($A'$) বের করার নিয়মটা খুবই সহজ! সার্বিক সেট $U$ এর যে উপাদানগুলো $A$ সেটে নেই, সেগুলো নিয়েই $A'$ গঠিত হয়। অর্থাৎ, $A' = U - A$।

• দেওয়া আছে, $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ এবং $A = \{1, 2, 3, 4\}$
• অতএব, $A' = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \setminus \{1, 2, 3, 4\} = \{5\}$

অর্থাৎ $U$ সেট থেকে $1, 2, 3, 4$ উপাদানগুলো বাদ দিলে শুধুমাত্র $\{5\}$ অবশিষ্ট থাকে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো বিজোড় সংখ্যা। যেকোনো বিজোড় সংখ্যাকে বর্গ করলে (অর্থাৎ সেই সংখ্যা দিয়ে নিজেকে গুণ করলে) ফলাফল সবসময় বিজোড় সংখ্যাই হয়।

বিষয়টি সহজ কয়েকটি উদাহরণের মাধ্যমে দেখে নেওয়া যাক:

• $3$ একটি বিজোড় সংখ্যা, এর বর্গ $3^2 = 9$ (বিজোড় সংখ্যা)
• $5$ একটি বিজোড় সংখ্যা, এর বর্গ $5^2 = 25$ (বিজোড় সংখ্যা)
• $7$ একটি বিজোড় সংখ্যা, এর বর্গ $7^2 = 49$ (বিজোড় সংখ্যা)

সুতরাং, যেকোনো বিজোড় সংখ্যার বর্গ সর্বদাই একটি বিজোড় সংখ্যা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 6। গাণিতিক নিয়মটি খুব সহজে বুঝে নেওয়া যাক:

• প্রদত্ত রাশিটি হলো $(2x - 1)$, যা যেকোনো পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে একটি বিজোড় সংখ্যা নির্দেশ করে।
• এখন রাশিটির বর্গ করলে পাই: $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 = 4x(x - 1) + 1$।
• এখানে $x(x - 1)$ হলো দুটি পর পর সংখ্যার গুণফল, যা সর্বদা জোড় সংখ্যা। ফলে $4x(x - 1)$ রাশিটি $8$ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার গাণিতিক শর্তানুসারে প্রতিক্ষেত্রে নির্ণেয় ভাগশেষ থাকে 6।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 0.87। হিসাবটি একদম সহজ, নিচের ধাপগুলো লক্ষ্য করুন:

• আমরা জানি, $\sqrt{3} \approx 1.732$
• প্রদত্ত রাশিটি হলো: $\frac{1}{2}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• এখন $\sqrt{3}$-এর মান বসিয়ে পাই: $\frac{1.732}{2} = 0.866$

যেহেতু দশমিকের পর তৃতীয় ঘরটি $6$ (যা $5$-এর চেয়ে বড়), তাই দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নেওয়ার জন্য আগের ঘরের সাথে $1$ যোগ হয়ে উত্তর হবে 0.87।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 4.12 (প্রায়)। একটি সহজ শর্টকাট সূত্র ব্যবহার করে খুব দ্রুত এটি বের করা যায়:

• $17$ এর সবচেয়ে কাছের পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলো $16$, যার বর্গমূল $4$।
• শর্টকাট সূত্র অনুযায়ী মান বসাই:

• এখন সাধারণ হিসাব করলেই পেয়ে যাবো:

তাই দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত $\sqrt{17}$ এর মান হলো 4.12 (প্রায়)।

এখানে সঠিক উত্তর হলো থাকে না। বিষয়টা বুঝতে একটি সহজ গাণিতিক নিয়ম দেখে নেওয়া যাক:

• যেকোনো বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাকে $2n + 1$ হিসেবে ধরা যায়।
• এখন এই সংখ্যার বর্গ করলে পাই: $(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1$।
• এখানে $n(n + 1)$ হলো দুটি পরপর সংখ্যার গুণফল, যা সর্বদা জোড় সংখ্যা। তাই $4n(n + 1)$ অংশটি $8$ দ্বারা পুরোপুরি বিভাজ্য হয়ে যায় এবং আলাদা কোনো বাড়তি ভাগশেষ থাকে না।