গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\emptyset$ (ফাঁকা সেট)। গাণিতিক বিষয়টি বেশ সহজ:

• ভাগশেষ 35 হতে হলে নির্ণেয় সংখ্যাটিকে (ভাজক) অবশ্যই 35-এর চেয়ে বড় হতে হবে।
• সংখ্যাটি দিয়ে ভাগ করলে অবশিষ্ট 35 থাকে, অর্থাৎ সংখ্যাটি অবশ্যই $(105 - 35) = 70$ এবং $(107 - 35) = 72$ উভয়েরই সাধারণ গুণনীয়ক হতে হবে।
• কিন্তু 70 এবং 72-এর সাধারণ গুণনীয়কসমূহ হলো 1 এবং 2 (কারণ $\gcd(70, 72) = 2$)।

যেহেতু 35-এর চেয়ে বড় 70 ও 72-এর কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই, তাই এমন কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা পাওয়া সম্ভব নয়। ফলে নির্ণেয় সেটটি হবে ফাঁকা সেট বা $\emptyset$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫ সে.মি।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে খুব সহজেই অতিভুজ নির্ণয় করা যায়।

• আমরা জানি, অতিভুজ $= \sqrt{a^2 + b^2}$
• দেওয়া আছে, সংলগ্ন বাহুদ্বয় $a = 3$ সে.মি এবং $b = 4$ সে.মি।
• সুতরাং, অতিভুজ $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ সে.মি।

সহজ ট্রিক: সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর একটি জনপ্রিয় অনুপাত হলো ৩:৪:৫। তাই বাহু দুটি ৩ ও ৪ সে.মি হলে অতিভুজ চোখ বন্ধ করেই ৫ সে.মি হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৫০০ টাকা। খুব সহজ দুটি ধাপে উত্তরটি বের করে ফেলা যায়:

• জমির ক্ষেত্রফল নির্ণয়: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র ব্যবহার করে পাই, ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 75 \times 20 = 750$ বর্গমিটার।
• মোট খরচ হিসাব: প্রতি বর্গমিটারে খরচ $2$ টাকা, তাই $750$ বর্গমিটারে ঘাস লাগাতে মোট খরচ হবে $750 \times 2 = 1500$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো মধ্যমা।

কোনো ত্রিভুজের যেকোনো একটি শীর্ষবিন্দু থেকে তার বিপরীত বাহুর ঠিক মাঝের বিন্দু (মধ্যবিন্দু) পর্যন্ত অঙ্কিত সরলরেখাকেই ওই ত্রিভুজের মধ্যমা (Median) বলা হয়।

• মূল কাজ: মধ্যমা ত্রিভুজের বিপরীত বাহুকে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে।
• সহজ সমীকরণ: শীর্ষবিন্দু + বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু = মধ্যমা।
• একটি ত্রিভুজে মোট $3$টি মধ্যমা আঁকা সম্ভব।

এখানে সঠিক উত্তর হলো কোনটিই নয়। কারণ সমবাহু ত্রিভুজের সঠিক ক্ষেত্রফলটি অপশনে দেওয়া নেই।

হিসাবটি খুব সহজ:

• সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ (যেখানে $a$ হলো বাহুর দৈর্ঘ্য)।
• এখানে বাহুর দৈর্ঘ্য, $a = 16$ মিটার।
• তাহলে ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 16^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 256 = 64\sqrt{3}$ বর্গমিটার।

যেহেতু ত্রিভুজটির প্রকৃত ক্ষেত্রফল $64\sqrt{3}$ বর্গমিটার (শুধুমাত্র $৬৪$ বর্গমিটার নয়), তাই সঠিক উত্তরটি হবে কোনটিই নয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 125। ধারাটির নিয়মটি বেশ সহজ! পূর্ববর্তী সংখ্যার সাথে ২ গুণ করে ৩ যোগ করলেই পরের সংখ্যাটি পাওয়া যাচ্ছে:

• $1 \times 2 + 3 = 5$
• $5 \times 2 + 3 = 13$
• $13 \times 2 + 3 = 29$
• $29 \times 2 + 3 = 61$

একইভাবে, ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি হবে: $61 \times 2 + 3 = 125$

এখানে সঠিক উত্তর হলো 5050। ১ থেকে যেকোনো ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল বের করার কৌশলটি খুবই সহজ।

১ থেকে $n$ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের শর্টকাট সূত্রটি হলো: $S = \frac{n(n + 1)}{2}$

• এখানে শেষ সংখ্যা, $n = 100$
• সূত্রে মান বসিয়ে পাই: $\frac{100 \times (100 + 1)}{2}$
• $= \frac{100 \times 101}{2}$
• $= 50 \times 101 = 5050$

তাই ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর সমষ্টি হলো 5050।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 29। একটু খেয়াল করলেই দেখবে, এই ধারার প্রতিটি পদ তার আগের দুটি পদের যোগফলের সমান।

ধারাটির প্যাটার্নটি সহজভাবে দেখলে দাঁড়ায়:

• $1 + 3 = 4$
• $3 + 4 = 7$
• $4 + 7 = 11$
• $7 + 11 = 18$

অতএব, একই নিয়ম মেনে ধারার পরবর্তী পদটি হবে: $11 + 18 = 29$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২১। সংখ্যাগুলোর মধ্যবর্তী পার্থক্য খেয়াল করলেই প্যাটার্নটি সহজে বোঝা যায়:

• $3 - 1 = 2$
• $6 - 3 = 3$
• $10 - 6 = 4$
• $15 - 10 = 5$

দেখা যাচ্ছে, প্রতি পদে পার্থক্য $1$ করে বাড়ছে ($2, 3, 4, 5...$)। সুতরাং, ষষ্ঠ পদের জন্য পার্থক্য হবে $6$।

অতএব, ধারার পরবর্তী পদটি হবে: $15 + 6 = 21$

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২০০০। অনুপাতের সহজ শর্টকাট নিয়মে অংকটি খুব দ্রুত করে ফেলা যায়:

• মোট অনুপাতের যোগফল = $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ ভাগ।
• সবচেয়ে বড় অংশ $5$ এবং সবচেয়ে ছোট অংশ $1$, তাই এদের অনুপাতের পার্থক্য = $5 - 1 = 4$ ভাগ।
• সুতরাং, নির্ণেয় পার্থক্যের পরিমাণ = $$7500 \times \frac{4}{15} = 2000$$ টাকা।

অর্থাৎ, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য ২০০০ টাকা।