৪২তম বিসিএস (বিশেষ) পরীক্ষা [স্বাস্থ্য ক্যাডার) প্রিলিমিনারি ও লিখিত প্রশ্ন সমাধান ২০২১

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২ ঘণ্টা। লসাগু (LCM) মেথড ব্যবহার করে খুব সহজেই এটি সমাধান করা যায়:

• ধরি, পুরো চৌবাচ্চার মোট ধারণক্ষমতা ১০, ১২ ও ১৫-এর লসাগু = $60$ ইউনিট।
• নল তিনটি ১ ঘণ্টায় আলাদাভাবে পূর্ণ করে যথাক্রমে $\frac{60}{10} = 6$ ইউনিট, $\frac{60}{12} = 5$ ইউনিট এবং $\frac{60}{15} = 4$ ইউনিট।
• তিনটি নল একসাথে ১ ঘণ্টায় মোট পূর্ণ করে: $6 + 5 + 4 = 15$ ইউনিট।
• তাহলে পুরো চৌবাচ্চা পূর্ণ হতে মোট সময় লাগবে: $\frac{60}{15} = 4$ ঘণ্টা।
• যেহেতু চৌবাচ্চার অর্ধেক পূর্ণ করার কথা বলা হয়েছে, তাই সময় লাগবে: $\frac{4}{2} = 2$ ঘণ্টা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো অসীম। কারণ বিষয়টা খুব সহজ—যেকোনো সংখ্যার গুণিতক বের করতে হলে তাকে স্বাভাবিক সংখ্যা ($1, 2, 3, 4, \dots$) দিয়ে পরপর গুণ করতে হয়।

যেহেতু স্বাভাবিক সংখ্যা অসীম, তাই যেকোনো সংখ্যার গুণিতকের সংখ্যাও কখনো শেষ হয় না।

যেমন— $3$ এর গুণিতকের সেটটি হবে:

$$\{3, 6, 9, 12, 15, \dots\}$$

যেহেতু এই সেটের উপাদান সংখ্যা গুনে শেষ করা সম্ভব নয়, তাই যেকোনো সংখ্যার গুণিতকের সেট একটি অসীম সেট।

এখানে সঠিক উত্তর হলো বৃহস্পতিবার। বিষয়টি বোঝার জন্য একটি সহজ নিয়ম মনে রাখাই যথেষ্ট:

• ২০০৯ সালটি লিপ ইয়ার (Leap Year) নয়, অর্থাৎ এটি একটি সাধারণ বছর ($365$ দিনের বছর)।
• যেকোনো সাধারণ বছরের ১ জানুয়ারি যে বার দিয়ে শুরু হয়, বছরের শেষ দিন অর্থাৎ ৩১ ডিসেম্বর ঠিক একই বার দিয়েই শেষ হয়।

গাণিতিক হিসাব অনুযায়ী, ১ম দিনটি বাদ দিলে বছরে বাকি থাকে $364$ দিন। $364$-কে $7$ দিয়ে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না ($364 \div 7 = 52$ সপ্তাহ, ভাগশেষ $0$)। তাই ১ জানুয়ারি বৃহস্পতিবার হলে ৩১ ডিসেম্বরও বৃহস্পতিবার-ই হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৯। অনুপাতের শর্টকাট টেকনিক ব্যবহার করে আমরা খুব দ্রুতই ছোট টুকরাটির দৈর্ঘ্য বের করে ফেলতে পারি:

• প্রথমে অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল বের করি: $3 + 7 + 10 = 20$
• মোট ৬০ মিটার নলকে এই $20$ ভাগের মাধ্যমে ভাগ করতে হবে।
• অনুপাতগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট অংশটি হলো $3$।

সুতরাং, ছোট টুকরাটির দৈর্ঘ্য = $60 \times \frac{3}{20} = 9$ মিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩০ দিনে। লোকসংখ্যা এবং দিনসংখ্যার এই অংকগুলো শর্টকাট সূত্রে খুব দ্রুত সমাধান করা যায়।

আমরা জানি, লোকসংখ্যা $\times$ দিনসংখ্যা = মোট কাজ। অর্থাৎ, $M_1 D_1 = M_2 D_2$

• প্রথম ক্ষেত্রে: $M_1 = 60$ জন এবং $D_1 = 18$ দিন
• দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: $M_2 = 36$ জন, আমাদের দিনসংখ্যা ($D_2$) বের করতে হবে।

এখন সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

$$D_2 = \frac{M_1 \times D_1}{M_2} = \frac{60 \times 18}{36} = 30$$

অর্থাৎ, ৩৬ জন লোকের কাজটি সম্পন্ন করতে মোট ৩০ দিন সময় লাগবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩৬। হিসেবটি একদম সহজ, নিচের ধাপগুলো লক্ষ্য করুন:

• প্রথমে, $4$-এর বর্গ = $4^2 = 16$।
• প্রশ্নমতে, কোনো সংখ্যার বর্গমূলের সাথে $10$ যোগ করলে যোগফল হবে $16$। সুতরাং, সংখ্যাটির বর্গমূল হলো $16 - 10 = 6$।
• যেহেতু বর্গমূল $6$, তাই মূল সংখ্যাটি হবে $6^2 = 36$।

সহজ কথায়, $36$-এর বর্গমূল $\sqrt{36} = 6$, আর $6$-এর সাথে $10$ যোগ করলে পাওয়া যায় $16$—যা $4$-এর বর্গের সমান।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৫। হিসাবটা একদম সহজ:

• প্রথমে, $5$-এর বর্গ হলো $5^2 = 25$।
• প্রশ্ন অনুযায়ী, কোনো সংখ্যার বর্গমূলের সাথে $20$ যোগ করলে তা $25$ হবে।
• তাহলে সংখ্যাটির বর্গমূল হবে: $25 - 20 = 5$।
• এখন, বর্গমূলকে বর্গ করলেই মূল সংখ্যাটি পাওয়া যাবে: $5^2 = 25$।

সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো ২৫।

এখানে সঠিক উত্তর হলো এক সমকোণ। জ্যামিতির মৌলিক নিয়ম অনুযায়ী, বৃত্তের যেকোনো স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক এবং ওই স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ সবসময় পরস্পরের ওপর লম্ব হয়।

• স্পর্শক ও স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের মধ্যে লম্ব সম্পর্ক থাকে।
• যেকোনো লম্ব কোণের পরিমাপ সবসময় $90^\circ$ হয়।
• আর আমরা জানি, $90^\circ$ কোণ মানেই হলো এক সমকোণ।

তাই স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ সর্বদাই $90^\circ$ বা এক সমকোণ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 78।

একটু খেয়াল করলেই দেখবে, ধারাটি মূলত ত্রিভুজীয় সংখ্যার (Triangular Numbers) একটি সিরিজ। যেকোনো $n$-তম পদ বের করার দারুণ একটি শর্টকাট সূত্র রয়েছে:

$$T_n = \frac{n(n + 1)}{2}$$

• আমাদের ধারাটির দ্বাদশ পদ অর্থাৎ $n = 12$ বের করতে হবে।
• সূত্রে $n = 12$ বসালে পাই: $\frac{12 \times (12 + 1)}{2} = \frac{12 \times 13}{2} = 6 \times 13 = 78$

সুতরাং, ধারাটির ১২তম বা দ্বাদশ পদটি হলো 78।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ব্যাস।

বৃত্তের পরিধির যেকোনো দুটি বিন্দু যোগ করলে যে রেখাংশ পাওয়া যায়, তাকে জ্যা বলা হয়। কোনো জ্যা যখন ঠিক বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করে, তখন সেটি সবচেয়ে দীর্ঘ বা বড় আকার ধারণ করে। কেন্দ্রগামী এই সবচেয়ে বড় জ্যাটিকেই আমরা ব্যাস বলি।