৪২তম বিসিএস (বিশেষ) পরীক্ষা [স্বাস্থ্য ক্যাডার) প্রিলিমিনারি ও লিখিত প্রশ্ন সমাধান ২০২১
|x|/2 = 5 এর সঠিক সমাধান কোনটি?
এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: x = ± 10। পরমমানের (Absolute Value) সহজ নিয়মে সমীকরণটি সহজেই সমাধান করা যায়:
- প্রথমে সমীকরণটি লিখি: \( \frac{|x|}{2} = 5 \)
- আড়াআড়ি গুণ করে পাই: \( |x| = 5 \times 2 = 10 \)
- আমরা জানি, পরমমান বা Absolute Value তুলে দিলে অপর পাশে \( \pm \) চিহ্ন বসে (কারণ \( |x| = a \) হলে \( x = \pm a \) হয়)।
- সুতরাং, \( x = \pm 10 \)
|x| = √2 এর সঠিক সমাধান কোনটি?
এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: \(x = \pm \sqrt{2}\)। পরমমানের (Absolute Value) নিয়ম জানা থাকলে এটি একদম এক সেকেন্ডের বিষয়:
- আমরা জানি, পরমমানের সূত্র অনুযায়ী \(|x| = a\) হলে \(x = \pm a\) হয়।
- প্রশ্নটিতে দেওয়া আছে, \(|x| = \sqrt{2}\)।
- পরমমানের চিহ্ন তুলে দিলে মানটি ধনাত্মক (+) বা ঋণাত্মক (-) উভয়ই হতে পারে।
- সুতরাং, সমাধানটি হবে \(x = \pm \sqrt{2}\)।
|x| ≤ 4 এর সঠিক সমাধান কোনটি?
এখানে সঠিক উত্তর হলো $-4 \le x \le 4$। কারণ পরমমানের (Absolute Value) অসমতা সমাধানের নিয়মটি খুবই সহজ।
যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যা $a$ এর জন্য সাধারণ নিয়মটি হলো:
- যদি $|x| \le a$ দেওয়া থাকে, তবে পরমমান তুলে দিলে লেখা যায়: $$-a \le x \le a$$
- অতএব, $|x| \le 4$ অসমতাটির ক্ষেত্রে $a = 4$ বসিয়ে পাই: $$-4 \le x \le 4$$
সহজ কথায়, $x$ এর মান $-4$ এর থেকে ছোট হতে পারবে না এবং $+4$ এর থেকে বড় হতে পারবে না, অর্থাৎ মানটি $-4$ থেকে $+4$ সীমার ভেতরেই থাকবে।
√18 এর মান কত?
এখানে সঠিক উত্তর হলো 4.24। বিষয়টি খুব সহজেই হিসাব করা যায়:
- প্রথমে $\sqrt{18}$-কে ভেঙে লিখলে পাই: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
- আমরা জানি, $\sqrt{2}$-এর মান হলো $1.414$ (প্রায়)
- সুতরাং, $3 \times 1.414 = 4.242$, যা আসন্ন মান হিসেবে দাঁড়ায় 4.24
দুইটি গরু একই মূল্যে বিক্রি করলে একটিতে লাভ হয় ১০ টাকা, অন্যটিতে ক্ষতি হয় ১২ টাকা। শতকরা মোট কত লাভ বা ক্ষতি হলো?
এখানে সঠিক উত্তর হলো শতকরা ১ ভাগ ক্ষতি। দুটি জিনিস একই বিক্রয়মূল্যে বিক্রি করা হলে একটিতে $x\%$ লাভ এবং অন্যটিতে $x\%$ ক্ষতি হলে মোটের ওপর সর্বদাই ক্ষতি হয়।
- সহজ শর্টকাট নিয়ম: ক্ষতি $= \frac{x^2}{100}\%$
- এখানে, $x = 10$
- হিসাব: $\frac{10^2}{100}\% = \frac{100}{100}\% = 1\%$
সুতরাং, মোটের ওপর শতকরা ১ ভাগ ক্ষতি হবে।
১২টি ডিমের বিক্রয়মূল্য ১৫টি ডিমের ক্রয়মূল্যের সমান হলে শতকরা কত লাভ হবে?
এখানে সঠিক উত্তর হলো 25%। লাভ-ক্ষতির এই অংকটি খুব সহজ একটি ট্রিক দিয়ে সমাধান করা যায়।
ধরি, ১টি ডিমের ক্রয়মূল্য $1$ টাকা।
- ১২টি ডিমের ক্রয়মূল্য = $12$ টাকা।
- প্রশ্নমতে, ১২টি ডিমের বিক্রয়মূল্য = ১৫টি ডিমের ক্রয়মূল্য = $15$ টাকা।
- তাহলে ১২টি ডিমে লাভ হয় = $(15 - 12) = 3$ টাকা।
অতএব, শতকরা লাভের হার = $\frac{3}{12} \times 100\% = 25\%$।
P টাকায় P% হার সরল মুনাফায় 4 বছরের মুনাফা P টাকা হলে, P এর মান কত?
এখানে সঠিক উত্তর হলো 25। সরল মুনাফার সূত্র ব্যবহার করেই খুব সহজে মানটি বের করা যায়।
আমরা জানি, সরল মুনাফা $I = \frac{P \times r \times n}{100}$
প্রশ্নে দেওয়া মানগুলো হলো:
- মুনাফা ($I$) = $P$
- মূলধন = $P$
- মুনাফার হার ($r$) = $P$
- সময় ($n$) = $4$ বছর
এখন সূত্রে মান বসিয়ে পাই:
$$P = \frac{P \times P \times 4}{100}$$ $$1 = \frac{4P}{100}$$ $$4P = 100$$ $$P = 25$$অতএব, $P$ এর মান 25।
১৫টি ছাগলের মূল্যে ৩টি গরুর মূল্যের সমান। ২০টি ছাগলের পরিবর্তে কয়টি গরু পাওয়া যাবে?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪টি। হিসাবটা খুব সহজ!
- ১৫টি ছাগলের দাম ৩টি গরুর সমান হলে, ১টি গরুর দাম হবে $15 \div 3 = 5$টি ছাগলের সমান।
- অর্থাৎ, প্রতি ৫টি ছাগলের বদলে ১টি গরু পাওয়া যায়।
- সুতরাং, ২০টি ছাগলের বদলে গরু পাওয়া যাবে: $20 \div 5 = 4$টি।
৮টি দ্রব্য ৫ টাকায় ক্রয় করে ১৬টি দ্রব্য কত টাকায় বিক্রয় করলে ১০% লাভ হবে?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ১১ টাকা। খুব সহজ একটি শর্টকাট নিয়মে হিসাবটি করা যাক:
- ৮টি দ্রব্যের ক্রয়মূল্য $5$ টাকা হলে, ১৬টি দ্রব্যের (দ্বিগুণ) ক্রয়মূল্য হবে $(5 \times 2) = 10$ টাকা।
- ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য হবে মোট ক্রয়মূল্যের $110\%$।
- অতএব, ১৬টি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য = $10 \times \frac{110}{100} = 11$ টাকা।
একটি বই বিক্রয় করার সময় বিক্রেতা লিখিত মূল্যের উপর ১৫% কমিশন প্রদান করে। বইটির লিখিত বিক্রয়মূল্য ১২০ টাকা হলে, বইটি কত টাকায় ক্রয় করা যাবে?
এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০২ টাকা। হিসাবটা একদম সহজ:
- ১৫% ছাড়ের পর বইটির প্রকৃত দাম থাকে মোট মূল্যের $100\% - 15\% = 85\%$।
- অতএব, বইটি ক্রয় করার জন্য দিতে হবে ১২০ টাকার $85\%$।
গাণিতিক হিসাব: $120 \times \frac{85}{100} = 102$ টাকা।