৪২তম বিসিএস (বিশেষ) পরীক্ষা [স্বাস্থ্য ক্যাডার) প্রিলিমিনারি ও লিখিত প্রশ্ন সমাধান ২০২১

এখানে সঠিক উত্তর হলো 6। গাণিতিক নিয়মটি খুব সহজে বুঝে নেওয়া যাক:

• প্রদত্ত রাশিটি হলো $(2x - 1)$, যা যেকোনো পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে একটি বিজোড় সংখ্যা নির্দেশ করে।
• এখন রাশিটির বর্গ করলে পাই: $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 = 4x(x - 1) + 1$।
• এখানে $x(x - 1)$ হলো দুটি পর পর সংখ্যার গুণফল, যা সর্বদা জোড় সংখ্যা। ফলে $4x(x - 1)$ রাশিটি $8$ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার গাণিতিক শর্তানুসারে প্রতিক্ষেত্রে নির্ণেয় ভাগশেষ থাকে 6।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 0.87। হিসাবটি একদম সহজ, নিচের ধাপগুলো লক্ষ্য করুন:

• আমরা জানি, $\sqrt{3} \approx 1.732$
• প্রদত্ত রাশিটি হলো: $\frac{1}{2}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• এখন $\sqrt{3}$-এর মান বসিয়ে পাই: $\frac{1.732}{2} = 0.866$

যেহেতু দশমিকের পর তৃতীয় ঘরটি $6$ (যা $5$-এর চেয়ে বড়), তাই দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নেওয়ার জন্য আগের ঘরের সাথে $1$ যোগ হয়ে উত্তর হবে 0.87।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 4.12 (প্রায়)। একটি সহজ শর্টকাট সূত্র ব্যবহার করে খুব দ্রুত এটি বের করা যায়:

• $17$ এর সবচেয়ে কাছের পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলো $16$, যার বর্গমূল $4$।
• শর্টকাট সূত্র অনুযায়ী মান বসাই:

• এখন সাধারণ হিসাব করলেই পেয়ে যাবো:

তাই দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত $\sqrt{17}$ এর মান হলো 4.12 (প্রায়)।

এখানে সঠিক উত্তর হলো থাকে না। বিষয়টা বুঝতে একটি সহজ গাণিতিক নিয়ম দেখে নেওয়া যাক:

• যেকোনো বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাকে $2n + 1$ হিসেবে ধরা যায়।
• এখন এই সংখ্যার বর্গ করলে পাই: $(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1$।
• এখানে $n(n + 1)$ হলো দুটি পরপর সংখ্যার গুণফল, যা সর্বদা জোড় সংখ্যা। তাই $4n(n + 1)$ অংশটি $8$ দ্বারা পুরোপুরি বিভাজ্য হয়ে যায় এবং আলাদা কোনো বাড়তি ভাগশেষ থাকে না।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: $\{3\}$। কারণ বিষয়টা খুবই সহজ!

ইন্টারসেকশন ($\cap$) চিহ্নের কাজ হলো দুটি সেটের মধ্যে কেবল কমন বা সাধারণ উপাদানটিকে খুঁজে নেওয়া।

• দেওয়া আছে, $A = \{-1, 0, 2, 3\}$ এবং $B = \{-3, 3, 4, 5\}$
• এখানে $A$ এবং $B$ দুটি সেটের উপাদানগুলো লক্ষ্য করলে দেখা যায়, কেবল $3$ সংখ্যাটিই উভয় সেটে বিদ্যমান।

সুতরাং, $A \cap B = \{3\}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\{2, 4, 6\}$। সেটের অন্তর বা বিয়োগ ($B - A$) বের করার নিয়মটি খুব সহজ—সেট $B$-এর যে উপাদানগুলো $A$-তে নেই, সেগুলোকে নিয়েই গঠিত হবে নতুন সেট।

• আমাদের দেওয়া আছে: $A = \{1, 3, 5\}$ এবং $B = \{2, 4, 6\}$।
• লক্ষ্য করি, $B$ সেটের উপাদানগুলোর ($2, 4, 6$) কোনোটিই $A$ সেটের মধ্যে নেই।
• যেহেতু বাদ দেওয়ার মতো কিছু নেই, তাই $B$ সেট থেকে $A$ বাদ দিলে $B$-এর সবকটি উপাদানই থেকে যাবে।

সুতরাং, $B - A = \{2, 4, 6\}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: $\{1, 3, 5\}$। কারণ বিষয়টাই খুব সহজ!

সেটের বিয়োগ বা Set Difference ($A - B$) বলতে বোঝায় $A$ সেটের যে উপাদানগুলো $B$ সেটে নেই, সেগুলোকে নিয়ে গঠিত সেট।

• এখানে, $A = \{1, 3, 5\}$ এবং $B = \{2, 4, 6\}$।
• দেখা যাচ্ছে, $A$ এবং $B$ সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ (common) উপাদান নেই।
• ফলে $A$ সেট থেকে বাদ দেওয়ার মতো কোনো উপাদান $B$ সেটে না থাকায়, $A$ সেটের মান অপরিবর্তিত থাকবে।

সুতরাং, $A - B = \{1, 3, 5\}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩২০ টাকা। উভয় ক্ষেত্রে সুদের পরিমাণ সমান হওয়ায় আমরা শর্টকাট সূত্র $P_1 r_1 t_1 = P_2 r_2 t_2$ ব্যবহার করে সহজেই আসল বের করতে পারি।

• প্রথম ক্ষেত্রে: আসল $P_1 = 950$, হার $r_1 = 6\%$, সময় $t_1 = 8$ বছর
• দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: হার $r_2 = 7.5\%$, সময় $t_2 = 19$ বছর, আসল $P_2 = ?$

সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

$$950 \times 6 \times 8 = P_2 \times 7.5 \times 19$$

$$P_2 = \frac{950 \times 6 \times 8}{7.5 \times 19} = 320$$

অতএব, নির্ণেয় আসলের পরিমাণ ৩২০ টাকা।

সহজ সুদের সূত্র ব্যবহার করে আমরা খুব সহজেই সুদের হার বের করতে পারি।

আমরা জানি, সুদের হার $R = \frac{I \times 100}{P \times n}$

• এখানে, মোট সুদ ($I$) = $85$ টাকা
• আসল ($P$) = $425$ টাকা
• সময় ($n$) = $4$ বছর

এখন সূত্রে মানগুলো বসিয়ে পাই:

$$R = \frac{85 \times 100}{425 \times 4} = \frac{8500}{1700} = 5\%$$

অর্থাৎ, শতকরা বার্ষিক সুদের হার হলো 5%।

এখানে সঠিক উত্তর হলো সুদের হার $\times$ আসল $\times$ সময় / ১০০।

বিষয়টা একদম সহজ! সরল সুদের ক্ষেত্রে কত টাকা সুদ আসবে তা বের করতে হলে আসল, সুদের হার এবং সময়—এই তিনটি উপাদানকে একসাথে গুণ করে ১০০ দিয়ে ভাগ করতে হয়।

গাণিতিক সংকেতে সূত্রটি হলো:

$$I = \frac{P \times r \times t}{100}$$

• $I$ = মোট সুদ (Interest)
• $P$ = আসল টাকা (Principal)
• $r$ = সুদের হার (Rate of interest)
• $t$ = সময় (Time)