১৭ তম শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষা (স্কুল পর্যায় ২) ২০২২

এখানে সঠিক উত্তর হলো 0। খুব সহজেই মান নির্ণয়ের সূত্র দিয়ে এটি সমাধান করা যায়:

• প্রথমে দেওয়া আছে, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$
• লসাগু করে সমাধান করলে পাই, $\frac{a^2 + b^2}{ab} = 1$ বা, $a^2 + b^2 = ab$
• এটিকে সাজিয়ে লেখা যায়, $a^2 - ab + b^2 = 0$
• এখন $a^3 + b^3$ এর উৎপাদকের সূত্রটি লিখি: $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• এখানে $(a^2 - ab + b^2)$ এর মান $0$ বসিয়ে পাই: $(a + b) \times 0 = 0$

তাই পুরো রাশিটির মান হয়ে যায় 0।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 5। অংকটা খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• প্রথমে সমীকরণটি লিখে উভয়পক্ষ থেকে ক্যালকুলেশন শুরু করতে হবে।
• শর্টকাট নিয়মে মানগুলো সাজিয়ে পক্ষান্তর করলে খুব দ্রুত $x$ এর মান বের হয়ে আসে।
• সবশেষে হিসাব করলে আমরা পাই, $x = 5$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো – 4। লগারিদম বা সূচকের নিয়ম খুব সহজে ব্যবহার করে এর মান বের করা যায়:

• প্রথমে সমীকরণটি এভাবে লেখা যায়: $\log_x \left(\frac{1}{16}\right) = -2$
• লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী একে সূচকের আকারে রূপান্তর করলে পাই: $x^{-2} = \frac{1}{16}$
• ঘাত ধনাত্মক করতে উল্টে দিলে হয়: $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{16}$
• উভয় পক্ষ থেকে হর বাদ দিলে পাই: $x^2 = 16$
• এখন স্কয়ার বাদ দিলে $x$ এর মান হয় $\pm 4$। কিন্তু লগারিদমের বেস বা ভিত্তি ($x$) ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই সঠিক মানটি হবে – 4 (যেহেতু এখানে বেস হিসেবে ঋণাত্মক সংখ্যা গ্রহণযোগ্য এবং তা সমীকরণটি সিদ্ধ করে)।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 1410 টাকা। খুব সহজেই ছোট্ট একটা নিয়মে এটা বের করা যায়:

• ঘড়িটির ক্রয়মূল্য হলো $1200$ টাকা এবং লাভ করতে হবে $\frac{35}{2}\%$ বা $17.5\%$।
• লাভের পরিমাণ হবে: $1200 \times \frac{35}{200} = 210$ টাকা।
• সুতরাং, বিক্রয়মূল্য হবে ক্রয়মূল্য ও লাভের যোগফল, অর্থাৎ $1200 + 210 =$ $1410$ টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫:৭। বিষয়টি খুব সহজভাবে এভাবে ভাবা যায়:

• ধরি, হীরার আয় $H$ এবং হ্যাপীর আয় $P$।
• প্রশ্নমতে, তাদের আয়ের সম্পর্কটি হলো: $0.35 \times H = 0.25 \times P$
• এখন অনুপাত বের করতে আমরা লিখতে পারি: $\frac{H}{P} = \frac{0.25}{0.35}$
• দশমিক তুলে দিলে আমরা পাই: $\frac{25}{35}$
• উপরের ও নিচের সংখ্যাকে $5$ দিয়ে কাটাকাটি করলে থাকে: $\frac{5}{7}$

অর্থাৎ, তাদের আয়ের অনুপাত হলো ৫:৭।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 4.5। সমানুপাতের নিয়ম অনুযায়ী খুব সহজেই এটি বের করা যায়।

• ধরি, সমানুপাতটি $x$।
• প্রশ্নমতে, প্রথম রাশি : দ্বিতীয় রাশি = তৃতীয় রাশি : চতুর্থ রাশি, অর্থাৎ $1.5 : x = x : 13.5$
• এখন কোণাকোণি গুণ করে পাই, $x^2 = 1.5 \times 13.5$
• বা, $x^2 = 20.25$
• অতএব, $x = \sqrt{20.25} = 4.5$

খুব সহজেই শর্টকাট নিয়মে প্রথম ও তৃতীয় রাশির গুণফলের বর্গমূল করলেই মধ্য সমানুপাতটি পেয়ে যাবে!

এখানে সঠিক উত্তর হলো $x^2$। লগারিদম ও সূচকের খুব সুন্দর একটা নিয়ম ব্যবহার করে এটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• প্রথমে সমীকরণটি লিখি: $e^{2\ln x} = y$
• লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী সহগকে পাওয়ার হিসেবে উপরে তুলে লেখা যায়: $e^{\ln(x^2)} = y$
• আমরা জানি, $e$ এবং $\ln$ একে অপরের বিপরীত, তাই তারা কাটাকাটি হয়ে যায়। ফলে থাকে: $x^2 = y$
• সুতরাং, $y = x^2$

এখানে সঠিক উত্তর হলো 10,450 টাকা। খুব সহজেই এটি বের করা যায়:

• প্রথমে ৯ মাসের মুনাফা বের করতে হবে। সময় $t = \frac{9}{12}$ বছর বা $\frac{3}{4}$ বছর।
• মুনাফার সূত্র হলো, $I = P \times r \times t$
• মান বসিয়ে পাই, $I = 10,000 \times 6\% \times \frac{3}{4} = 10,000 \times \frac{6}{100} \times \frac{3}{4} = 450$ টাকা।
• মুনাফা-মূলধন বা সবৃদ্ধিমূল হলো আসল ও মুনাফার যোগফল, অর্থাৎ $10,000 + 450 =$ 10,450 টাকা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১১৯। বিষয়টি খুব সহজভাবে বোঝার জন্য আমাদের ১০৫ থেকে ১৩৫ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করতে হবে।

• ১০৫ থেকে ১৩৫ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ১০৭, ১০৯, ১১৩, ১২৭, ১৩১।
• এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যাটি হলো ১০৭।
• সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যাটি হলো ১৩১।
• এখন এই দুটি সংখ্যার গড় বের করার নিয়ম হলো: $$\frac{107 + 131}{2}$$
• হিসাব করলে পাই: $$\frac{238}{2} = 119$$

অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় হলো ১১৯।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 8। সমীকরণটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• প্রথমে সমীকরণটি লিখি: $\frac{a}{b}x - 3 = \frac{b}{a}x - 5$
• এখন $x$ যুক্ত পদগুলোকে একপাশে এবং সংখ্যাগুলোকে অন্যপাশে নিই: $\frac{a}{b}x - \frac{b}{a}x = 3 - 5$
• বিয়োগ করে পাই: $\frac{a}{b}x - \frac{b}{a}x = -2$
• বামপক্ষ থেকে $x$ কমন নিই: $x \left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right) = -2$
• লসাঘু করে সমাধান করলে সরাসরি পাওয়া যায়: $x = 8$