একটি ভবনের ছাদ হতে মুক্তভাবে পড়ন্ত একটি বস্তু পড়তে 5 সেকেন্ড সময় নেয়। ভবনের উচ্চতা কত?

নির্ণায়কটির মান শূন্য হওয়ার শর্ত: k = 0 হলে নির্ণায়কটির ১ম ও ৩য় সারির দুটি একাই হয় এবং নির্ণায়কের মান শূন্য হয়; k = ±1 হলে নির্ণায়কটির ১ম ও ৩য় কলামের দুটি কলাম একই হয় এবং নির্ণায়কের মান শূন্য হয়। নির্ণায়কের যে কোন কলামে নির্নায়কের যে কোন জোড়ারে নির্ণায়কের যে কোন দুটি কলাম নির্ণায়কের যে কোন কলামে হয় না। নির্ণায়কটির মান শূন্য হবে না। নির্ণায়কের যে কোন জোড়া নির্নায়কের যে কোন কলামে নির্নায়কের যে কোনো দুটি কলাম নির্ণায়কের যে কোন কলামে হয় না, তাই সঠিক উত্তর k = -1।

Δ = | a a x | | m m m | | b x b | = 0 ⇒ a = x, a = m ⇒ B. x = b, x = m ⇒ C. x = a, x = b ⇒ m(a - x) - (ab - b) + x(x - b) = 0 ⇒ x = a, x = b

দেওয়া আছে নির্ণায়কটি: | 1 ω ω² | | ω ω² 1 | | ω² 1 ω | C₁' = c₁ + c₂ + c₃ অপারেশন প্রয়োগ করে পাই, প্রতিটি উপাংশ 1 + ω + ω² = 0 হয়। সুতরাং নির্ণায়কের মান 0।

নির্ণায়কটি হলো: | x+y x y | | y x+z z | | z y y+z | নির্ণায়কে x = 1, y = 2, z = 3 বসালে নির্ণায়কটির আকার হয়: | 3 1 2 | | 2 4 3 | | 3 2 5 | = 3(20 - 9) - 1(10 - 6) + 2(3 - 8) = 24 এখন সব Option পরীক্ষা করে, যেটির মধ্যে Option 4, x = 1, y = 2, z = 3 বসালে 24 পাওয়া যাবে সেটাই Correct Answer.

f'(x) = 1.e^{-kx} - kxe^{-kx} = e^{-kx}(1 - kx); সর্বাধিক মানের জন্য, f'(x) = 0 => e^{-kx}(1 - kx) = 0 => x = 1/k. f''(x) = ke^{-kx}(kx - 2); f''(1/k) = ke^{-1}(1 - 2) = -k/e < 0; সর্বাধিক মান পাওয়া যাবে. অতএব সর্বাধিক মান = f(1/k) = (1/k)e^{-1} = 1/(ek)

3x² + ax + 2y² - by - 2 = 0 ⇒ 3{x² + 2x(a/6) + (a/6)²} + 2{y² - 2y(b/4) + (b/4)²} = 2 + a²/12 + b²/8 ⇒ (x + a/6)² / {(2 + a²/12 + b²/8)/3} + (y - b/4)² / {(2 + a²/12 + b²/8)/2} = 1 কেন্দ্র (X, Y) = (0, 0) ∴ X = 0 ⇒ x + a/6 = 0 ⇒ x = -a/6 ∴ Y = 0 ⇒ y - b/4 = 0 ⇒ y = b/4 ∴ কেন্দ্র = (-a/6, b/4) প্রশ্নমতে, (-a/6, b/4) = (-1, 1) ∴ -a/6 = -1 ⇒ a = 6 ∴ b/4 = 1 ⇒ b = 4

\alpha^2 = 5\alpha - 3 \text{ এবং } \beta^2 = 5\beta - 3 \text{ উভয় সমীকরণই } x^2 - 5x + 3 = 0 \text{ কে নির্দেশ করে। অর্থাৎ, } \alpha, \beta \text{ উভয়েই } x^2 - 5x + 3 = 0 \text{ সমীকরণের মূল \alpha + \beta = 5 \text{ এবং } \alpha\beta = 3 \text{ মূলদ্বয় } \frac{\alpha}{\beta} \text{ ও } \frac{\beta}{\alpha} \text{ এদের যোগফল } = \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta} = \frac{5^2 - 2 \times 3}{3} = \frac{19}{3} \text{ এবং গুণফল } = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right) \left(\frac{\beta}{\alpha}\right) = 1 \text{ সমীকরণটিঃ } x^2 - \left(\frac{19}{3}\right)x + 1 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 19x + 3 = 0

s = \frac{1}{3}t^3 + t^2 + 3t => v = ds/dt = t^2 + 2t + 3. a = dv/dt = 2t + 2; t = 1 হলে a = 2.1 + 2 = 4 ms⁻² = \frac{4m}{sec^2}

tan⁻¹(2((x-1)/(x+1)) / (1 - ((x-1)/(x+1))²)) = tan⁻¹(-1/√3) ⇒ (2(x² - 1)) / (4x) = -1/√3 ⇒ (x² - 1) / (2x) = -1/√3 ⇒ √3 x² + 2x - √3 = 0 ⇒ (x + √3)(√3 x - 1) = 0 ⇒ x = -√3, 1/√3

h = ut - 1/2 gt² ⇒ 1/2 gt² - ut + h = 0 ........ (i) এখানে t₁ ও (t₁ + 1) হলো (i) নং সমীকরণের দুটি মূল। আমরা জানি, ax² + bx + c = 0 এর মূলদ্বয় α, β হলে, αβ = c/a t₁(t₁ + 1) = h / (1/2 g) = 2 (ধরি h ও g এর মান অনুসারে 2) ⇒ t₁² + t₁ - 2 = 0 ⇒ (t₁ - 1)(t₁ + 2) = 0 ⇒ t₁ = 1 sec