সততার পুরস্কার

এখানে সঠিক উত্তর হলো $AB + AC > BD + DC$। খুব সহজে বিষয়টি মনে রাখার একটা দারুণ শর্ટકट আছে—

• ত্রিভুজের যেকোনো বাহু বাড়ালে বাইরের পরিধি বড় হয়, তাই ত্রিভুজের ভেতরের যেকোনো বিন্দুর ক্ষেত্রে বাইরের বাহু দুটোর যোগফল ভেতরের রেখা দুটোর যোগফল থেকে সবসময় বড় হবে।
• অর্থাৎ, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো থেকে তৈরি বাহুদ্বয়ের যোগফল $AB + AC$ ভেতরের বিন্দু $D$ সংলগ্ন বাহুদ্বয় $BD + DC$ এর চেয়ে বড় হবে।
• গাণিতিক রূপটি হলো: $AB + AC > BD + DC$

এখানে সঠিক উত্তর হলো p < r < q। ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ছোট বা বড় তা সহজে বোঝার জন্য আমরা নিচের পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারি:

• প্রথমে ভগ্নাংশগুলোকে দশমিক মানে রূপান্তর করি:
  $p = \frac{3}{5} = 0.60$
  $q = \frac{7}{9} \approx 0.77$
  $r = \frac{5}{7} \approx 0.71$
• এখন মানগুলো তুলনা করলে দেখা যায়: $0.60 < 0.71 < 0.77$
• অর্থাৎ, p < r < q সম্পর্কটি সঠিক।

সহজ কথায়, লব ও হরের পার্থক্য কম হলে ভগ্নাংশটির মান সাধারণত বড় হয়। এখানে $p$ এর মান সবচেয়ে কম, তাই এটিই ছোট।

এই অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়। পাত্রটির মোট ধারণক্ষমতা যদি $x$ গ্যালন হয়, তবে শর্তমতে পাত্রের অর্ধেক অংশ থেকে ৮ গ্যালন সরিয়ে নিলে তা মোট ধারণক্ষমতার দশ ভাগের এক ভাগে নেমে আসে।

• শুরুতে পাত্রে ছিল: $\frac{1}{2}x$
• ৮ গ্যালন সরানোর পর থাকে: $\frac{1}{10}x$
• সমীকরণটি দাঁড়ায়: $\frac{1}{2}x - 8 = \frac{1}{10}x$

এখন সমীকরণটি সমাধান করলেই উত্তর পাওয়া যাবে:

• $\frac{1}{2}x - \frac{1}{10}x = 8$
• $\frac{5x - x}{10} = 8$
• $\frac{4x}{10} = 8$
• $4x = 80$
• $x = 20$

অর্থাৎ, পাত্রটির মোট ধারণক্ষমতা হলো ২০ গ্যালন।

এই গুণফলটি বের করার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো দশমিকের পরের অঙ্কগুলোকে আলাদা করে হিসাব করা। এখানে মোট ৪টি সংখ্যা গুণ করতে হবে। আমরা প্রথমে সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণফল বের করব এবং তারপর দশমিকের অবস্থান ঠিক করব।

• প্রথমে সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণফল বের করি: $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$
• এখন দশমিকের পরের মোট ঘরের সংখ্যা গণনা করি: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ ঘর।
• আমাদের গুণফল $16$-কে এমনভাবে লিখতে হবে যেন দশমিকের পর মোট ১০টি ঘর থাকে।

অর্থাৎ, $16$-এর আগে ৮টি শূন্য বসিয়ে দশমিক দিলে আমরা পাই: 0.0000000016।

সহজ কথায়, দশমিকের পরের মোট ঘর সংখ্যা যোগ করলেই উত্তরটি চোখের পলকে বের হয়ে আসে। তাই সঠিক উত্তর হলো 0.0000000016।

দুটি সংখ্যার যোগফল এবং ল.সা.গু দেওয়া থাকলে, সংখ্যা দুটি বের করার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো অপশন টেস্ট করা। এখানে সঠিক উত্তর হলো ২৪ ও ৩২। কারণ:

• যোগফল যাচাই: $24 + 32 = 56$, যা প্রশ্নের শর্তের সাথে মিলে যায়।
• ল.সা.গু যাচাই: ২৪ এবং ৩২-এর ল.সা.গু বের করতে আমরা এদের উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি: $$24 = 8 \times 3$$ $$32 = 8 \times 4$$ ল.সা.গু হবে $8 \times 3 \times 4 = 96$।

যেহেতু ২৪ ও ৩২-এর যোগফল ৫৬ এবং ল.সা.গু ৯৬, তাই এই সংখ্যা দুটিই সঠিক। বড় কোনো সমীকরণ সমাধান না করে এভাবে অপশন যাচাই করলেই খুব দ্রুত উত্তর পাওয়া যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫০০০ টাকা। বিষয়টি খুব সহজে বোঝা যায় এভাবে:

• প্রথমে গরুটি ৫% ক্ষতিতে বিক্রি করা হয়েছে, তার মানে বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের চেয়ে ৫% কম।
• পরে ৫% লাভে বিক্রি করার কথা বলা হয়েছে, তার মানে বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্যের চেয়ে ৫% বেশি।
• তাহলে, এই দুই অবস্থার মধ্যে মোট পার্থক্যের পরিমাণ হলো $(5 + 5)\% = 10\%$।
• প্রশ্নমতে, এই ১০% পার্থক্যই হলো ৫০০ টাকার সমান।
• এখন, ক্রয়মূল্য যদি ১০০% হয়, তবে হিসাবটি দাঁড়ায়:

ক্রয়মূল্য = $$\frac{500}{10} \times 100 = 5000$$ টাকা।

অর্থাৎ, খুব সহজেই আমরা বলতে পারি গরুটির ক্রয়মূল্য ৫০০০ টাকা।

২৫% লাভে বিক্রয়মূল্য নির্ণয় করার সহজ পদ্ধতিটি নিচে দেওয়া হলো:

• ক্রয়মূল্য: ৫৬০ টাকা
• লাভের পরিমাণ: ৫৬০ টাকার ২৫% = (৫৬০ × ২৫) ÷ ১০০ = ১৪০ টাকা

অতএব, নির্ণেয় বিক্রয়মূল্য = (ক্রয়মূল্য + লাভ) = ৫৬০ + ১৪০ = ৭০০ টাকা।

এই অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়। এখানে মূল বিষয়টি হলো ক্ষতির শতাংশ থেকে লাভের শতাংশে পৌঁছাতে মোট কত শতাংশের পার্থক্য তৈরি হলো তা বের করা।

• প্রথমে ২০% ক্ষতি মানে ক্রয়মূল্যের তুলনায় ২০% কম।
• পরে ১০% লাভ মানে ক্রয়মূল্যের তুলনায় ১০% বেশি।
• অর্থাৎ, মোট পার্থক্যের পরিমাণ হলো $(20 + 10)\% = 30\%$।
• প্রশ্নমতে, এই ৩০% পার্থক্যের মানই হলো ৬০ টাকা।

এখন, যদি ৩০% সমান ৬০ টাকা হয়, তবে ১% সমান হবে $\frac{60}{30} = 2$ টাকা। সুতরাং, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য বা ১০০% হবে:

$$100 \times 2 = 200 \text{ টাকা}$$

সহজ কথায়, দাম ৬০ টাকা বাড়ালে যেহেতু ৩০% পরিবর্তন আসে, তাই ১০০% বা ক্রয়মূল্য হবে ২০০ টাকা।

এই অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়। আমাদের প্রথমে মোট ডিমের ক্রয়মূল্য বের করে নিতে হবে, তারপর লাভের অংশ যোগ করে গড় দাম বের করতে হবে।

• ৫ ডজন ডিমের ক্রয়মূল্য: $5 \times 101 = 505$ টাকা।
• ৬ ডজন ডিমের ক্রয়মূল্য: $6 \times 90 = 540$ টাকা।
• মোট ডিমের সংখ্যা: $5 + 6 = 11$ ডজন।
• মোট ক্রয়মূল্য: $505 + 540 = 1045$ টাকা।

এখন, প্রতি ডজনে ৩ টাকা লাভ করতে চাইলে মোট লাভ হবে $11 \times 3 = 33$ টাকা। তাহলে মোট বিক্রয়মূল্য হতে হবে $(1045 + 33) = 1078$ টাকা।

সুতরাং, ডজন প্রতি বিক্রয়মূল্য হবে:

$$\frac{1078}{11} = 98 \text{ টাকা}$$

অর্থাৎ, প্রতি ডজন ডিম ৯৮ টাকা দরে বিক্রয় করলে কাঙ্ক্ষিত লাভ পাওয়া যাবে।

এই অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়। এখানে ১০০ টাকায় ২৫টি কেনা হয়েছে এবং ১০০ টাকায় ২০টি বিক্রি করা হয়েছে। অর্থাৎ, প্রতিটি লেবুর ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য থেকেই আমরা লাভের হার বের করতে পারি।

• ২৫টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে, ১টি লেবুর ক্রয়মূল্য = $\frac{100}{25} = 4$ টাকা।
• ২০টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে, ১টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = $\frac{100}{20} = 5$ টাকা।
• তাহলে, ১টি লেবুতে লাভ হয় = $5 - 4 = 1$ টাকা।
• লাভের হার বের করার সূত্র হলো: $\frac{\text{লাভ}}{\text{ক্রয়মূল্য}} \times 100\%$
• অর্থাৎ, $\frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$

সহজ কথায়, কম সংখ্যক লেবু বিক্রি করে পুরো টাকা তুলে ফেলায় এখানে সরাসরি ২৫% লাভ হচ্ছে।