১০০ টাকায় ২৫টি করে লেবু ক্রয় করে ১০০ টাকায় ২০টি করে লেবু বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ হবে?

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০। বিষয়টি খুব সহজভাবে এভাবে চিন্তা করা যায়:

• প্রথমে দেওয়া আছে $x$ ও $y$-এর গড় ৯, তার মানে তাদের যোগফল হলো $x + y = 9 \times 2 = 18$।
• এখন আমাদের $x, y$ এবং $z$-এর গড় বের করতে হবে, যেখানে $z = 12$।
• তিনটি সংখ্যার মোট যোগফল হবে: $18 + 12 = 30$।
• সুতরাং, তিনটি সংখ্যার গড় হবে: $\frac{30}{3} = 10$।

খুব সহজেই আমরা বুঝতে পারছি, মোট যোগফলকে ৩ দিয়ে ভাগ করলেই আমরা কাঙ্ক্ষিত গড়টি পেয়ে যাচ্ছি।

এই অংকটি সমাধান করা খুবই সহজ। আমাদের বের করতে হবে $\frac{x}{y}$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল $\frac{2x}{y}$ হবে। ধরি, আমাদের যোগ করতে হবে $A$।

• শর্তমতে, $\frac{x}{y} + A = \frac{2x}{y}$
• এখন, $A$ এর মান বের করতে $\frac{x}{y}$ কে ডানপাশে নিয়ে বিয়োগ করলেই হবে:
• $A = \frac{2x}{y} - \frac{x}{y}$
• $A = \frac{2x - x}{y} = \frac{x}{y}$

তবে আপনার দেওয়া অপশনগুলোর সাথে মিলিয়ে দেখলে, যদি প্রশ্নটি এমন হয় যে $\frac{x}{y}$ এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল $\frac{2y^2}{xy}$ হবে, তবেই সঠিক উত্তরটি হবে $\frac{2y^2 - x^2}{xy}$। মূলত, কাঙ্ক্ষিত যোগফল থেকে মূল সংখ্যাটি বিয়োগ করলেই আমরা আমাদের উত্তরটি পেয়ে যাই।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২২। বীজগণিতের খুব সহজ একটি সূত্র ব্যবহার করেই আমরা এটি বের করতে পারি। আমাদের শুধু নিচের ধাপগুলো খেয়াল করতে হবে:

• আমরা জানি, বর্গের সূত্র অনুযায়ী: $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
• প্রশ্নে দেওয়া আছে, $x^2 + y^2 = 8$ এবং $xy = 7$
• এখন এই মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই: $8 + 2 \times 7$
• হিসাব করলে দাঁড়ায়: $8 + 14 = 22$

ব্যাস, খুব সহজেই আমরা পেয়ে গেলাম যে $(x + y)^2$ এর মান হলো ২২।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩৭.৫ কি. মি.। বিষয়টি খুব সহজ, শুধু সময়টা বের করে নিলেই অংকটি সমাধান হয়ে যায়।

• সকাল ৭টা থেকে বিকেল ৩টা পর্যন্ত মোট সময় হলো: ৮ ঘণ্টা।
• আমরা জানি, গতিবেগ বের করার সূত্র হলো: গতিবেগ = দূরত্ব ÷ সময়।
• এখানে দূরত্ব ৩০০ কি. মি. এবং সময় ৮ ঘণ্টা।
• সুতরাং, ট্রেনটির গতিবেগ হবে: $$\frac{300}{8} = 37.5$$ কি. মি./ঘণ্টা।

অর্থাৎ, ট্রেনটি প্রতি ঘণ্টায় গড়ে ৩৭.৫ কি. মি. পথ অতিক্রম করেছে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১০ ও ১৬। বিষয়টি খুব সহজে সমাধান করা যায় এভাবে:

• ধরি, সংখ্যা দুটি হলো $5x$ এবং $8x$।
• শর্তমতে, উভয় সংখ্যার সাথে $2$ যোগ করলে অনুপাতটি হয় $2:3$। অর্থাৎ: $$\frac{5x + 2}{8x + 2} = \frac{2}{3}$$
• এখন আড়গুণন বা বজ্রগুণন করলে পাই: $$3(5x + 2) = 2(8x + 2)$$ $$15x + 6 = 16x + 4$$ $$16x - 15x = 6 - 4$$ $$x = 2$$
• সুতরাং, সংখ্যা দুটি হলো $5 \times 2 = 10$ এবং $8 \times 2 = 16$।

খুব সহজেই দেখা যাচ্ছে, $10$ ও $16$ এর সাথে $2$ যোগ করলে আমরা পাই $12$ ও $18$, যাদের অনুপাত করলে হয় $12:18$ বা $2:3$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো চারগুণ। বিষয়টি খুব সহজেই বোঝা যায় যদি আমরা একটি সরলরেখার দৈর্ঘ্য ধরে নিই।

• ধরি, সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য $x$। তাহলে এর ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল হবে $x^2$।
• এখন, সরলরেখাটির অর্ধেক হলো $\frac{x}{2}$।
• এই অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল হবে: $$\left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{4}$$
• পুরো সরলরেখার বর্গ ($x^2$) এবং অর্ধেকের বর্গের ($\frac{x^2}{4}$) অনুপাত করলে আমরা পাই: $$\frac{x^2}{\frac{x^2}{4}} = 4$$

অর্থাৎ, পুরো সরলরেখার ওপর অঙ্কিত বর্গটি অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের তুলনায় চারগুণ বড়।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য আমরা খুব সহজেই পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারি। এখানে ত্রিভুজটির ভূমি $16$ মি এবং সমান সমান বাহু দুটির দৈর্ঘ্য $10$ মি।

• ত্রিভুজটির ভূমিকে সমান দুই ভাগে ভাগ করলে আমরা দুটি সমকোণী ত্রিভুজ পাই, যার ভূমি হয় $\frac{16}{2} = 8$ মি।
• এখন, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ $10$ মি এবং ভূমি $8$ মি হলে, লম্ব বা উচ্চতা ($h$) হবে: $$h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \text{ মি}$$
• আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
• সুতরাং, ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 16 \times 6 = 48$ বর্গ মিটার।

অর্থাৎ, সঠিক উত্তর হলো ৪৮ বর্গ মিটার।

সঠিক উত্তর হলো ইনসুলিন। বিষয়টি খুব সহজভাবে মনে রাখা যায়:

• আমাদের অগ্ন্যাশয় থেকে নিঃসৃত ইনসুলিন হরমোন রক্তে শর্করার (গ্লুকোজ) মাত্রা নিয়ন্ত্রণে রাখে।
• শরীরে যখন এই হরমোনের ঘাটতি দেখা দেয়, তখন রক্তে শর্করার পরিমাণ অস্বাভাবিকভাবে বেড়ে যায়।
• এই অবস্থাকেই আমরা চিকিৎসা বিজ্ঞানের ভাষায় ডায়াবেটিস বলে থাকি।

সহজ কথায়, ইনসুলিন হলো শরীরের সেই চাবিকাঠি যা রক্ত থেকে গ্লুকোজকে কোষে প্রবেশ করতে সাহায্য করে। এই চাবিকাঠি ঠিকমতো কাজ না করলেই ডায়াবেটিস রোগ হয়।

সঠিক উত্তর হলো হেস। ভিক্টর হেস ১৯১২ সালে বেলুন পরীক্ষার মাধ্যমে মহাজাগতিক রশ্মি বা কসমিক রে (Cosmic Rays) আবিষ্কার করেন।

বিষয়টি মনে রাখার সহজ উপায়:

• মহাজাগতিক রশ্মি বায়ুমণ্ডলের অনেক ওপর থেকে আসে, আর হেস বেলুন উড়িয়ে অনেক উচ্চতায় গিয়েই এই রশ্মির অস্তিত্ব প্রমাণ করেছিলেন।
• তার এই যুগান্তকারী আবিষ্কারের জন্য তিনি ১৯৩৬ সালে পদার্থবিজ্ঞানে নোবেল পুরস্কার লাভ করেন।

সমুদ্রের গভীরতা মাপার জন্য সঠিক যন্ত্রটি হলো ফ্যাদোমিটার। বিষয়টি মনে রাখা খুব সহজ:

• সমুদ্রের তলদেশ কতটা গভীরে আছে তা জানার জন্য সাধারণত শব্দের প্রতিফলন বা প্রতিধ্বনি (Echo) ব্যবহার করা হয়।
• ফ্যাদোমিটার যন্ত্রটি শব্দের গতিবেগ এবং সময়কে কাজে লাগিয়ে গভীরতা নির্ণয় করে।
• গাণিতিকভাবে এর মূল সূত্রটি হলো: $$d = \frac{v \times t}{2}$$
• এখানে, $d$ হলো গভীরতা, $v$ হলো শব্দের গতিবেগ এবং $t$ হলো শব্দ ফিরে আসার সময়। যেহেতু শব্দকে নিচে গিয়ে আবার উপরে ফিরে আসতে হয়, তাই মোট সময়কে $2$ দিয়ে ভাগ করলেই আমরা সঠিক গভীরতা পেয়ে যাই।

সহজ কথায়, সমুদ্রের গভীরতা পরিমাপের জন্য ফ্যাদোমিটারই সবচেয়ে কার্যকর ও নির্ভুল যন্ত্র।