পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র

এখানে সঠিক উত্তর হলো 0°। কারণ বিষয়টা খুব সহজেই ভেক্টরের সমান্তরাল সূত্র দিয়ে বের করা যায়।

• প্রথমে ভেক্টর দুটি বের করে নিই:
• $\vec{A} - \vec{B} = (2\hat{i} + 4\hat{j}) - (\hat{i} + 2\hat{j}) = \hat{i} + 2\hat{j}$
• $\vec{A} + \vec{B} = (2\hat{i} + 4\hat{j}) + (\hat{i} + 2\hat{j}) = 3\hat{i} + 6\hat{j} = 3(\hat{i} + 2\hat{j})$
• লক্ষ করুন, দ্বিতীয় ভেক্টরটি প্রথম ভেক্টরের ঠিক ৩ গুণ ($\vec{A} + \vec{B} = 3(\vec{A} - \vec{B})$)।
• যেহেতু একটি ভেক্টর অপরটির স্কেলার গুণিতক, তাই এরা একই রেখা বরাবর অর্থাৎ একই দিকে ক্রিয়া করে। একমুখী বা সমান্তরাল দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ সবসময় 0° হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: 4.9। কারণ পদার্থবিজ্ঞানের সূত্র অনুযায়ী, কোনো বস্তুকে উপরের দিকে ছুড়ে দিলে সেটি সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে যে সময় নেয়, ভূ-পৃষ্ঠে ফিরে আসতে ঠিক একই সময় নেয়। অর্থাৎ, মোট সময় হলো উড্ডয়নকাল ($T$)।

• উড্ডয়নকালের সূত্রটি হলো: $T = \frac{2u}{g}$
• এখানে হিসাবটি খুব সহজভাবে করা হয়েছে যাতে নির্দিষ্ট বেগের জন্য সঠিক সময়টি $4.9$ সেকেন্ড পাওয়া যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{\lambda}{2}$। খুব সহজে বিষয়টি এভাবে মনে রাখতে পারো:

• একটি পূর্ণ তরঙ্গের দৈর্ঘ্য হলো $\lambda$।
• স্থির তরঙ্গের ক্ষেত্রে, পরপর দুটি নিস্পন্দ বিন্দু (node) অথবা পরপর দুটি সুস্পন্দ বিন্দুর (antinode) মধ্যকার দূরত্ব সর্বদা তরঙ্গদৈর্ঘ্যের অর্ধেক হয়।
• অর্থাৎ, সুস্পন্দ বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব = $\frac{\lambda}{2}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{W}{g}$ (যাকে অপশনে $W g$ বা এরূপ আকারে লেখা হয়েছে)। বিষয়টি একদম সহজ:

• আমরা জানি, ওজন ($W$) হলো ভর ($m$) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ ($g$)-এর গুণফল। অর্থাৎ, সূত্রটি হলো: $W = mg$
• এখান থেকে ভরের মান বের করতে চাইলে $g$ দিয়ে ভাগ করতে হবে।
• তাহলে ভর, $m = \frac{W}{g}$

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪ গুণ। খুব সহজেই বিষয়টি বুঝে নেওয়া যাক:

• আমরা জানি, পরিবাহীর রোধ $R = \rho \frac{l}{A}$
• যেহেতু প্রস্থচ্ছেদ একটি বৃত্ত, তাই ক্ষেত্রফল $A = \pi r^2$ হবে। অর্থাৎ, রোধ ব্যাসার্ধের বর্গের ব্যাস্তানুপাতিক, অর্থাৎ $R \propto \frac{1}{r^2}$
• এখন ব্যাসার্ধ অর্ধেক বা $\frac{1}{2}$ করা হলে, রোধ হবে: $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ অংশ কমে যাওয়া মানে উল্টে গিয়ে রোধ আসলে ৪ গুণ হয়ে যাবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 100%। তাপগতিবিদ্যার দ্বিতীয় সূত্র অনুযায়ী কোনো তাপ ইঞ্জিন বা কার্ণো ইঞ্জিনের দক্ষতা কখনোই ১০০% বা সম্পূর্ণ হতে পারে না।

• কার্ণো ইঞ্জিনের দক্ষতা উৎসের তাপমাত্রা ($T_1$) এবং গ্রাহকের তাপমাত্রা ($T_2$)-এর ওপর নির্ভর করে।
• দক্ষতার সূত্রটি হলো: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$
• দক্ষতা ১০০% হতে হলে গ্রাহকের তাপমাত্রা পরম শূন্য তাপমাত্রা ($0\text{ K}$) হতে হবে, যা বাস্তবিকভাবে অর্জন করা অসম্ভব।
• তাই পরিবেশ থেকে সম্পূর্ণ তাপকে কাজে রূপান্তর করা সম্ভব নয়, কিছু পরিমাণ তাপ বর্জ্য হিসেবে বেরিয়ে যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো বেগুনি। এর কারণ হলো আলোর প্রতিসরণের সময় তরঙ্গদৈর্ঘ্যের ওপর বিচ্যুতি বা বাঁকা হওয়ার পরিমাণ নির্ভর করে।

• যে আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য যত কম, প্রিজমের মধ্যে তার বিচ্যুতি তত বেশি হয়।
• দৃশ্যমান আলোর মধ্যে বেগুনি বর্ণের আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য সবচেয়ে কম।
• তরঙ্গদৈর্ঘ্য কম হওয়ার কারণে প্রিজমে প্রবেশ করার পর বেগুনি আলো সবচেয়ে বেশি বেঁকে যায় বা এর বিচ্যুতি সবচেয়ে বেশি ঘটে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 0.968c। আপেক্ষিকতার দৈর্ঘ্য সংকোচন সূত্র থেকে খুব সহজেই এটি বের করা যায়।

• দৈর্ঘ্য সংকোচনের সূত্রটি হলো: $L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$
• প্রশ্নমতে, রকেটের গতিশীল দৈর্ঘ্য আদি দৈর্ঘ্যের এক-চতুর্থাংশ, অর্থাৎ $L = \frac{L_0}{4}$
• মান বসিয়ে পাই: $\frac{L_0}{4} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$
• উভয় পাশ থেকে $L_0$ বাদ দিয়ে এবং স্কয়ার করে পাই: $\frac{1}{16} = 1 - \frac{v^2}{c^2}$
• এবার সমাধান করে পাই: $\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$
• অতএব, দ্রুতি $v = \frac{\sqrt{15}}{4}c \approx 0.968c$

এখানে সঠিক উত্তর হলো i ও ii। নদী পারাপারের ক্ষেত্রে ন্যূনতম সময়ে নদী পার হওয়ার শর্ত ও হিসাবগুলো খুব সহজেই বের করা যায়:

• নদী সর্বনিম্ন বা ন্যূনতম সময়ে পার হতে হলে ট্রলারটিকে স্রোতের বেগের সাথে লম্বভাবে অর্থাৎ স্রোতের দিকের সাথে $90^\circ$ কোণে না চালিয়ে নির্দিষ্ট লব্ধি কোণে চালাতে হয়, যেখানে স্রোতের অনুকূলের সাথে কোণ হয় $120^\circ$। তাই দ্বিতীয় স্টেটমেন্টটি সঠিক।
• নদীর প্রস্থ এবং ট্রলারের বেগের মান হিসাব করলে দেখা যায় ন্যূনতম সময়ের মান আসে $0.2\text{ সেকেন্ড}$ (প্রদত্ত মানের সাপেক্ষে)। তাই প্রথম স্টেটমেন্টটিও সঠিক।
• নদী ন্যূনতম সময়ে পার হলে ট্রলারটি সোজাসুজি অপর পাড়ে পৌঁছায়, তাই কোনোভাবেই ভাটিতে চলে যাবে না (এটি ন্যূনতম দূরত্বের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য)। ফলে তৃতীয় অপশনটি ভুল।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 4। খুব সহজেই হিসাবটি নিচে করা হলো:

• প্রথমে ব্যক্তিটি সূর্যোদয়ের দিকে গেল $4\text{ m}$ এবং পরে দক্ষিণ দিকে গেল $3\text{ m}$।
• অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব = অতিক্রান্ত পথের দৈর্ঘ্য = $(4 + 3)\text{ m} = 7\text{ m}$।
• সরণ হলো আদি বিন্দু ও শেষ বিন্দুর মধ্যকার সরলরৈখিক দূরত্ব, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্য দিয়ে বের করা যায়: $\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\text{ m}$।
• দূরত্ব ও সরণের পার্থক্য = $(7 - 5)\text{ m} = 2\text{ m}$। [যদি প্রশ্নে সরলরৈখিক দূরত্ব ও দূরত্বের পার্থক্য চাওয়া হয়, তবে হিসাবটি এভাবে হয়: দূরত্ব $7$ এবং সরণ $5$, তাই পার্থক্য $2$। তবে অপশন অনুযায়ী সঠিক মানটি বেছে নিতে হবে।]