গণিত

এখানে সঠিক উত্তর হলো কোনোটিই নয়। কারণ অনুপাত এবং গ.সা.গু দেওয়া থাকলে ল.সা.গু বের করার খুব সহজ একটি শর্টকাট নিয়ম রয়েছে।

শর্টকাট নিয়ম:

• ল.সা.গু = অনুপাতের পদদ্বয়ের গুণফল $\times$ গ.সা.গু

সহজ হিসেবটি দেখে নেওয়া যাক:

• অনুপাতের পদদ্বয়: $5$ ও $6$
• গ.সা.গু: $4$
• অতএব, সঠিক ল.সা.গু = $5 \times 6 \times 4 = 120$

যেহেতু সঠিক ল.সা.গু ১২০ অপশনগুলোর মধ্যে দেওয়া নেই, তাই সঠিক উত্তর হলো কোনোটিই নয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৬ গুণ। বিষয়টা খুব সহজ হিসাবের মাধ্যমে বুঝে নেওয়া যায়:

• মনে করি, সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য $x$ একক।
• তাহলে পুরো সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = $x^2$ বর্গ একক।
• সরলরেখাটির এক-চতুর্থাংশের দৈর্ঘ্য = $\frac{x}{4}$ একক।
• এই এক-চতুর্থাংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = $\left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$ বর্গ একক।

অতএব, মূল বর্গের ক্ষেত্রফল হবে ছোট বর্গের ক্ষেত্রফলের $x^2 \div \frac{x^2}{16} = 16$ গুণ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 36। একদম সহজে হিসাবটি বুঝে নেওয়া যাক:

• প্রথমে, ৪-এর বর্গ হলো $4^2 = 16$।
• প্রশ্নানুসারে, বর্গমূলের সাথে $10$ যোগ করলে যদি $16$ হয়, তবে সংখ্যাটির বর্গমূল হবে $16 - 10 = 6$।
• যেহেতু সংখ্যাটির বর্গমূল $6$, তাই মূল সংখ্যাটি হবে $6^2 = 36$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো বিপ্রতীপ কোণ। বিষয়টায় জটিলতার কিছু নেই!

দুটি সরলরেখা যখন একে অপরকে ছেদ করে, তখন ছেদবিন্দুতে মোট চারটি কোণ তৈরি হয়। এই কোণগুলোর মধ্যে একজোড়া কোণ যারা একদম মুখোমুখি বা আড়াআড়ি বিপরীতে অবস্থান করে, তাদের একটিকে অপরটির বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angle) বলা হয়।

সহজ কথায়, ছেদবিন্দুর বিপরীত পাশের কোণ দুটিই হলো বিপ্রতীপ কোণ এবং এদের পরিমাপ সবসময় পরস্পর সমান হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো বিপ্রতীপ কোণ।

দুটি সরলরেখা যখন একটি বিন্দুতে পরস্পর ছেদ করে, তখন ছেদবিন্দুর ঠিক বিপরীত পাশে মুখোমুখি যে কোণগুলো তৈরি হয়, তাদের একটিকে অপরটির বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angle) বলা হয়।

বিষয়টি মনে রাখার সহজ উপায়:

• দুটি রেখা একে অপরকে 'X' চিহ্নের মতো ছেদ করলে ঠিক সামনাসামনি বা বিপরীত কোণগুলোই বিপ্রতীপ কোণ।
• বিপ্রতীপ কোণদ্বয়ের পরিমাপ সবসময় সমান হয় (যেমন: $\angle 1 = \angle 2$)।

সহজ একটা শর্টকাট দিয়ে হিসাবটি করে ফেলা যায়:

• ১৫ জনের অর্ধেক কাজ করতে ২০ দিন লাগলে, সম্পূর্ণ কাজ করতে লাগবে $20 \times 2 = 40$ দিন।
• লোকসংখ্যা ও দিনের সম্পর্ক অনুযায়ী: $M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$
• মান বসিয়ে পাই: $15 \times 40 = 20 \times D_2$
• বা, $D_2 = \frac{15 \times 40}{20} = 30$ দিন।

সুতরাং, ২০ জন লোক ৩০ দিনে সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করতে পারবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২ ঘণ্টা। লসাগু (LCM) মেথড ব্যবহার করে খুব সহজেই এটি সমাধান করা যায়:

• ধরি, পুরো চৌবাচ্চার মোট ধারণক্ষমতা ১০, ১২ ও ১৫-এর লসাগু = $60$ ইউনিট।
• নল তিনটি ১ ঘণ্টায় আলাদাভাবে পূর্ণ করে যথাক্রমে $\frac{60}{10} = 6$ ইউনিট, $\frac{60}{12} = 5$ ইউনিট এবং $\frac{60}{15} = 4$ ইউনিট।
• তিনটি নল একসাথে ১ ঘণ্টায় মোট পূর্ণ করে: $6 + 5 + 4 = 15$ ইউনিট।
• তাহলে পুরো চৌবাচ্চা পূর্ণ হতে মোট সময় লাগবে: $\frac{60}{15} = 4$ ঘণ্টা।
• যেহেতু চৌবাচ্চার অর্ধেক পূর্ণ করার কথা বলা হয়েছে, তাই সময় লাগবে: $\frac{4}{2} = 2$ ঘণ্টা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো অসীম। কারণ বিষয়টা খুব সহজ—যেকোনো সংখ্যার গুণিতক বের করতে হলে তাকে স্বাভাবিক সংখ্যা ($1, 2, 3, 4, \dots$) দিয়ে পরপর গুণ করতে হয়।

যেহেতু স্বাভাবিক সংখ্যা অসীম, তাই যেকোনো সংখ্যার গুণিতকের সংখ্যাও কখনো শেষ হয় না।

যেমন— $3$ এর গুণিতকের সেটটি হবে:

$$\{3, 6, 9, 12, 15, \dots\}$$

যেহেতু এই সেটের উপাদান সংখ্যা গুনে শেষ করা সম্ভব নয়, তাই যেকোনো সংখ্যার গুণিতকের সেট একটি অসীম সেট।

এখানে সঠিক উত্তর হলো বৃহস্পতিবার। বিষয়টি বোঝার জন্য একটি সহজ নিয়ম মনে রাখাই যথেষ্ট:

• ২০০৯ সালটি লিপ ইয়ার (Leap Year) নয়, অর্থাৎ এটি একটি সাধারণ বছর ($365$ দিনের বছর)।
• যেকোনো সাধারণ বছরের ১ জানুয়ারি যে বার দিয়ে শুরু হয়, বছরের শেষ দিন অর্থাৎ ৩১ ডিসেম্বর ঠিক একই বার দিয়েই শেষ হয়।

গাণিতিক হিসাব অনুযায়ী, ১ম দিনটি বাদ দিলে বছরে বাকি থাকে $364$ দিন। $364$-কে $7$ দিয়ে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না ($364 \div 7 = 52$ সপ্তাহ, ভাগশেষ $0$)। তাই ১ জানুয়ারি বৃহস্পতিবার হলে ৩১ ডিসেম্বরও বৃহস্পতিবার-ই হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৯। অনুপাতের শর্টকাট টেকনিক ব্যবহার করে আমরা খুব দ্রুতই ছোট টুকরাটির দৈর্ঘ্য বের করে ফেলতে পারি:

• প্রথমে অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল বের করি: $3 + 7 + 10 = 20$
• মোট ৬০ মিটার নলকে এই $20$ ভাগের মাধ্যমে ভাগ করতে হবে।
• অনুপাতগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট অংশটি হলো $3$।

সুতরাং, ছোট টুকরাটির দৈর্ঘ্য = $60 \times \frac{3}{20} = 9$ মিটার।