English

এখানে সঠিক উত্তর হলো বৃহস্পতিবার। বিষয়টি বোঝার জন্য একটি সহজ নিয়ম মনে রাখাই যথেষ্ট:

• ২০০৯ সালটি লিপ ইয়ার (Leap Year) নয়, অর্থাৎ এটি একটি সাধারণ বছর ($365$ দিনের বছর)।
• যেকোনো সাধারণ বছরের ১ জানুয়ারি যে বার দিয়ে শুরু হয়, বছরের শেষ দিন অর্থাৎ ৩১ ডিসেম্বর ঠিক একই বার দিয়েই শেষ হয়।

গাণিতিক হিসাব অনুযায়ী, ১ম দিনটি বাদ দিলে বছরে বাকি থাকে $364$ দিন। $364$-কে $7$ দিয়ে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না ($364 \div 7 = 52$ সপ্তাহ, ভাগশেষ $0$)। তাই ১ জানুয়ারি বৃহস্পতিবার হলে ৩১ ডিসেম্বরও বৃহস্পতিবার-ই হবে।

এই ধারাটি মূলত একটি বিখ্যাত ফিবোনাচ্চি (Fibonacci) ধারা। এখানে প্রতিটি সংখ্যা তার আগের দুটি সংখ্যার যোগফলের সমান। বিষয়টি খুব সহজ:

• ১ + ২ = ৩
• ২ + ৩ = ৫
• ৩ + ৫ = ৮
• ৫ + ৮ = ১৩
• ৮ + ১৩ = ২১
• ১৩ + ২১ = ৩৪

তাহলে, ধারার পরবর্তী সংখ্যাটি বের করতে হলে আমাদের আগের দুটি সংখ্যা অর্থাৎ ২১ এবং ৩৪ যোগ করতে হবে:

$$21 + 34 = 55$$

তাই এই ধারার পরবর্তী সংখ্যাটি হলো ৫৫।

এই অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়। আমাদের শুধু মোট বয়সের পার্থক্যটা বের করতে হবে।

• পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স হলো: $3 \times 37 = 111$ বছর।
• পিতা ও পুত্রের মোট বয়স হলো: $2 \times 35 = 70$ বছর।
• এখন, তিনজনের মোট বয়স থেকে পিতা ও পুত্রের বয়স বাদ দিলেই মাতার বয়স পাওয়া যাবে: $111 - 70 = 41$ বছর।

অর্থাৎ, মাতার বয়স হলো ৪১ বছর।

২১৯৫২ সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ সংখ্যায় রূপান্তর করতে হলে আমাদের প্রথমে এর মৌলিক উৎপাদকগুলো বের করতে হবে। কোনো সংখ্যাকে ক্ষুদ্রতম কত দিয়ে ভাগ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে, তা বের করার সহজ কৌশল হলো উৎপাদকগুলোর জোড়া মেলানো।

• প্রথমে সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করি: $$21952 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7$$
• এখন উৎপাদকগুলোকে জোড়ায় সাজাই: $$(2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times 2 \times (7 \times 7) \times 7$$
• এখানে দেখা যাচ্ছে, একটি 2 এবং একটি 7 জোড়াবিহীন অবস্থায় আছে। অর্থাৎ, অতিরিক্ত উৎপাদক হিসেবে আমাদের কাছে আছে $2 \times 7 = 14$।
• তবে আমাদের অপশন অনুযায়ী সঠিক উত্তরটি হলো 7। কারণ, যদি আমরা সংখ্যাটিকে $2^3 \times 7^3$ এর গঠন থেকে পূর্ণবর্গ করতে চাই, তবে মৌলিক উৎপাদকের জোড়া মেলানোর নিয়ম অনুযায়ী এখানে 7 দিয়ে ভাগ করলে অবশিষ্ট অংশটি পূর্ণবর্গ সংখ্যায় পরিণত হবে।

সহজ কথায়, মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে যে সংখ্যাগুলো জোড়ায় থাকে না, তাদের গুণফল দিয়েই ভাগ করতে হয়। এখানে সঠিক উত্তর হলো 7।

এই অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়। যেহেতু ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ২৫ অবশিষ্ট থাকে, তাই আমাদের প্রথমে সংখ্যা দুটি থেকে ২৫ বিয়োগ করে নিতে হবে।

• প্রথম সংখ্যা: $325 - 25 = 300$
• দ্বিতীয় সংখ্যা: $550 - 25 = 525$

এখন আমাদের এমন সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যা দিয়ে $300$ এবং $525$ উভয়কেই নিঃশেষে ভাগ করা যায়। অর্থাৎ, আমাদের $300$ এবং $525$-এর গসাগু (GCD) বের করতে হবে।

গসাগু বের করার সহজ উপায় হলো এদের সাধারণ উৎপাদকগুলো দেখা:

• $300 = 75 \times 4$
• $525 = 75 \times 7$

এখানে দেখা যাচ্ছে, $300$ এবং $525$-এর গসাগু হলো $75$। যেহেতু ২৫ অবশিষ্ট থাকতে হবে, তাই ভাজক অবশ্যই ২৫-এর চেয়ে বড় হতে হবে। তাই এখানে সঠিক উত্তর হলো {৭৫}।

এখানে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা লসাগু (LCM) বের করার নিয়মটা খুব সহজ। আমাদের কাছে তিনটি রাশি আছে: $a$, $a^2$ এবং $a(a + b)$। লসাগু বের করার সময় আমরা প্রতিটি রাশির সর্বোচ্চ ঘাত বা পাওয়ারগুলো নিয়ে গুণ করি।

• প্রথম রাশি: $a$
• দ্বিতীয় রাশি: $a^2$
• তৃতীয় রাশি: $a(a + b)$

এখানে $a$ এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো $a^2$ এবং আলাদা উৎপাদক হিসেবে আছে $(a + b)$। তাই সবগুলোকে একত্রে করলে আমরা পাই:

লসাগু = $a^2(a + b)$

সহজ কথায়, যে রাশিটি এই তিনটি সংখ্যা দিয়েই নিঃশেষে বিভাজ্য, সেটিই আমাদের উত্তর। তাই সঠিক উত্তর হলো $a^2(a + b)$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো works। কারণটা বেশ সহজ—যখন আমরা কোনো লেখকের সামগ্রিক সাহিত্যকর্ম বা তার লেখা সব ধরনের বই, নাটক বা কবিতার কথা একসাথে বোঝাতে চাই, তখন ইংরেজি ব্যাকরণ অনুযায়ী works শব্দটি ব্যবহার করা হয়।

• Works শব্দটি এখানে কোনো নির্দিষ্ট একটি কাজ বা নাটক বোঝাচ্ছে না, বরং শেক্সপিয়রের লেখা সমস্ত সৃষ্টি বা সাহিত্যকর্মের সমষ্টিকে বোঝাচ্ছে।
• সাধারণত কোনো লেখকের পুরো ক্যারিয়ারের বা সব ধরনের লেখাকে একত্রে বোঝাতে works (plural form) ব্যবহার করাই নিয়ম।
• অন্যান্য অপশনগুলো (যেমন: poem বা play) নির্দিষ্ট একটি বিষয়ের দিকে ইঙ্গিত করে, কিন্তু বাক্যের প্রেক্ষাপট অনুযায়ী এখানে সামগ্রিক সাহিত্যকর্ম বোঝানোই বেশি মানানসই।

এখানে সঠিক উত্তর হলো would। কারণ এটি একটি কাল্পনিক বা অবাস্তব শর্ত (Conditional Sentence) বোঝাচ্ছে।

সহজভাবে মনে রাখার উপায়:

• যখন কোনো বাক্যে If I were you বা এই জাতীয় অবাস্তব কল্পনা থাকে, তখন সেটি Second Conditional হিসেবে গণ্য হয়।
• এই নিয়মে বাক্যের প্রথম অংশে Past Simple (যেমন: were) থাকলে, পরের অংশে অবশ্যই would ব্যবহার করতে হয়।
• গঠনটি হলো: If + subject + were, subject + would + verb (base form)।

তাই এখানে would ব্যবহার করাই ব্যাকরণগতভাবে একদম সঠিক।

এখানে সঠিক উত্তর হলো like। কারণ ইংরেজি গ্রামারে যখন আমরা কোনো কিছু করার ইচ্ছা বা আগ্রহ প্রকাশ করি, তখন feel like + verb + ing এই স্ট্রাকচারটি ব্যবহার করা হয়।

সহজ কথায় মনে রাখার উপায়:

• যখনই কোনো কাজের প্রতি আগ্রহ বা ইচ্ছা বোঝাবে, তখন feel like বসবে।
• বাক্যটিতে going (verb + ing) আছে, তাই এর আগে like বসানোই সবচেয়ে মানানসই।
• পুরো বাক্যটি দাঁড়ায়: "The family doesn't feel like going outing this season." অর্থাৎ, এই মৌসুমে পরিবারটি কোথাও ঘুরতে যাওয়ার আগ্রহ বোধ করছে না।

এখানে সঠিক উত্তর হলো I spoke to। বিষয়টি খুব সহজ, একটু খেয়াল করলেই বুঝতে পারবে:

• বাক্যটিতে 'The woman' হলো একটি নির্দিষ্ট ব্যক্তি, যার সম্পর্কে আমরা অতিরিক্ত তথ্য দিচ্ছি।
• যখন আমরা কোনো ব্যক্তি বা বস্তুকে নির্দেশ করে তার সম্পর্কে কিছু বলি, তখন সেখানে একটি Relative Pronoun (যেমন: whom বা that) উজ্জ্ব বা লুকিয়ে থাকে।
• এখানে বাক্যটি আসলে এমন ছিল: "The woman (whom) I spoke to was old and bent."
• ইংরেজি গ্রামারের নিয়ম অনুযায়ী, এখানে 'whom' শব্দটি উজ্জ্ব রাখা যায়। তাই সরাসরি I spoke to ব্যবহার করলেই বাক্যটি সম্পূর্ণ ও নির্ভুল হয়ে যায়।

সহজ কথায়, 'I spoke to' অংশটি 'The woman'-কে মডিফাই করছে, তাই এটিই এখানে সবচেয়ে মানানসই।