আনসার ও ভিডিপি অধিদপ্তরের নিয়োগ পরীক্ষা ২০১৫

এই অসমতাটি সমাধান করা খুবই সহজ। আমাদের লক্ষ্য হলো $x$-এর মান বের করা। চলুন ধাপগুলো দেখে নিই:

• প্রদত্ত অসমতাটি হলো: $x + 3 > 2x - 1$
• এখন $x$-এর পদগুলোকে একদিকে এবং সংখ্যাগুলোকে অন্যদিকে নিয়ে আসি: $3 + 1 > 2x - x$
• হিসাব করলে পাই: $4 > x$
• অর্থাৎ, $x < 4$।

সহজ কথায়, $x$-এর মান ৪-এর চেয়ে ছোট যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। তাই সমাধান সেটটি হবে $(-\infty, 4)$। এখানে ৪-এর চেয়ে ছোট সব মানই শর্তটি পূরণ করে, তাই সঠিক উত্তর হলো $(-\infty, 4)$।

এই অংকটি সমাধান করার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো প্রদত্ত সমীকরণ থেকে রাশিটিকে সাজিয়ে নেওয়া। আমাদের দেওয়া আছে $x + \frac{1}{x} = 4$। এখন আমাদের যে রাশিটির মান বের করতে হবে, সেটি হলো:

$$\frac{x}{x^2 - 3x + 1}$$

সহজ করার জন্য লব ও হর উভয়কে $x$ দিয়ে ভাগ করি:

• লবকে $x$ দিয়ে ভাগ করলে পাই: $\frac{x}{x} = 1$
• হরকে $x$ দিয়ে ভাগ করলে পাই: $\frac{x^2 - 3x + 1}{x} = x - 3 + \frac{1}{x}$

এখন হরটিকে সাজিয়ে লিখলে পাই $(x + \frac{1}{x}) - 3$। যেহেতু আমরা জানি $(x + \frac{1}{x}) = 4$, তাই হরটির মান দাঁড়ায়:

$$4 - 3 = 1$$

সুতরাং, পুরো রাশিটির মান হলো $\frac{1}{1} = 1$। খুব সহজেই আমরা বুঝতে পারছি সঠিক উত্তরটি হলো 1।

এই অংকটি খুব সহজেই একটি ছোট সূত্রের মাধ্যমে সমাধান করা যায়। যখন ২ বছরের জন্য সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য দেওয়া থাকে, তখন মূলধন বের করার সূত্রটি হলো:

পার্থক্য = আসল $\times (\frac{r}{100})^2$

এখানে আমাদের দেওয়া আছে:

• পার্থক্য = $1$ টাকা
• সুদের হার ($r$) = $4\%$

এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:

$$1 = \text{আসল} \times (\frac{4}{100})^2$$

$$1 = \text{আসল} \times (\frac{1}{25})^2$$

$$1 = \text{আসল} \times \frac{1}{625}$$

সুতরাং, আসল = $625$ টাকা।

অর্থাৎ, সঠিক উত্তর হলো ৬২৫ টাকা। এই শর্টকাট পদ্ধতিটি মনে রাখলে পরীক্ষার হলে খুব দ্রুত সমাধান করা সম্ভব।

এই অংকটি খুব সহজেই সমাধান করা যায়। আমাদের এমন একটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাকে $4, 5$ এবং $6$ দিয়ে ভাগ করলে প্রতিবারই $3$ অবশিষ্ট থাকে। এর জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করুন:

• প্রথমে $4, 5$ এবং $6$ এর লসাগু (LCM) বের করতে হবে।
• $4, 5, 6$ এর লসাগু হলো $60$।
• যেহেতু প্রতিবার $3$ অবশিষ্ট থাকে, তাই লসাগুর সাথে এই $3$ যোগ করে দিলেই আমরা কাঙ্ক্ষিত সংখ্যাটি পেয়ে যাব।

অর্থাৎ, নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো: $$60 + 3 = 63$$

সহজ কথায়, $63$ কে $4, 5$ বা $6$ দিয়ে ভাগ করলে প্রতিবারই ভাগশেষ $3$ পাওয়া যাবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 12/5। বিষয়টি খুব সহজেই পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে বের করা যায়।

• আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে $\sin A = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$।
• প্রশ্নে দেওয়া আছে $\sin A = \frac{12}{13}$, তার মানে লম্ব = $12$ এবং অতিভুজ = $13$।
• এখন পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী ভূমি বের করি: $\text{ভূমি} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$।
• সবশেষে, $\tan A = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$।
• মানগুলো বসিয়ে পাই, $\tan A = \frac{12}{5}$।

এভাবে খুব দ্রুতই আমরা লম্ব ও ভূমির অনুপাত থেকে $\tan A$ এর মান পেয়ে যাই।

এখানে সঠিক উত্তর হলো অসীম। বিষয়টি খুব সহজভাবে বোঝা যায়:

• এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যেখানে দুটি চলক ($x$ এবং $y$) রয়েছে।
• যখন একটি সমীকরণে দুটি চলক থাকে, তখন $x$-এর যেকোনো মানের জন্য $y$-এর একটি নির্দিষ্ট মান পাওয়া সম্ভব।
• আপনি যদি $x$-এর জায়গায় $1, 2, 3, 4$ বা অন্য যেকোনো বাস্তব সংখ্যা বসান, তবে সমীকরণটি সিদ্ধ করার জন্য $y$-এর একটি মান পাওয়া যাবে।
• যেহেতু বাস্তব সংখ্যার কোনো শেষ নেই, তাই $x$ এবং $y$-এর এমন জোড়া বা সমাধানও অসংখ্য পাওয়া সম্ভব।

সহজ কথায়, $3x + 2y = 15$ সমীকরণটি একটি সরলরেখাকে নির্দেশ করে, আর একটি সরলরেখার ওপর অসংখ্য বিন্দু থাকে। তাই এই সমীকরণের সমাধান সংখ্যাও অসীম।

এই অংকটি সমাধান করার জন্য আমাদের রাশিটিকে একটু সাজিয়ে নিতে হবে। রাশিটি হলো $x^2 - y^2 + 2y - 1$। লক্ষ্য করলে দেখবেন, শেষের তিনটি পদ থেকে একটি মাইনাস চিহ্ন কমন নিলে আমরা একটি পূর্ণবর্গ সূত্র পেয়ে যাই।

• প্রথমে রাশিটিকে এভাবে লিখি: $x^2 - (y^2 - 2y + 1)$
• এখন ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশটি $(a-b)^2$ এর সূত্রে পড়ে, অর্থাৎ: $x^2 - (y - 1)^2$
• এটি এখন $a^2 - b^2$ এর সূত্রে চলে এসেছে, যার মান $(a+b)(a-b)$।
• সূত্র অনুযায়ী পাই: $(x + (y - 1)) \times (x - (y - 1))$
• সহজ করলে দাঁড়ায়: $(x + y - 1) \times (x - y + 1)$

সুতরাং, রাশিটির একটি উৎপাদক হলো $x + y - 1$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো \sqrt{24}। বিষয়টি খুব সহজেই বোঝা যায় যদি আমরা দ্বিঘাত সমীকরণের মূল সমান হওয়ার শর্তটি মনে রাখি।

যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণ $ax^2 + bx + c = 0$ এর মূল দুইটি সমান হওয়ার শর্ত হলো এর নিশ্চায়ক বা ডিসক্রিমিন্যান্ট হতে হবে শূন্য। অর্থাৎ:

• সমীকরণটি হলো $x^2 + px + 6 = 0$
• এখানে $a = 1$, $b = p$ এবং $c = 6$
• মূল সমান হওয়ার শর্তানুসারে, $b^2 - 4ac = 0$
• মান বসিয়ে পাই: $p^2 - 4 \times 1 \times 6 = 0$
• বা, $p^2 - 24 = 0$
• বা, $p^2 = 24$
• সুতরাং, $p = \sqrt{24}$ (যেহেতু প্রশ্নে বলা আছে $p > 0$, তাই আমরা ধনাত্মক মানটিই নেব)

এভাবে খুব দ্রুতই আমরা বুঝতে পারি যে $p$ এর মান হবে \sqrt{24}।

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্রটি আমরা জানি, পরিসীমা = $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$। এখানে পরিসীমা দেওয়া আছে $20x$ এবং এক বাহুর দৈর্ঘ্য $4x + 3$। খুব সহজে অপর বাহু বের করার নিয়মটি নিচে দেওয়া হলো:

• প্রথমে পরিসীমাকে $2$ দিয়ে ভাগ করে অর্ধ-পরিসীমা বের করে নিতে হবে: $\frac{20x}{2} = 10x$।
• এখন এই অর্ধ-পরিসীমা থেকে জানা বাহুর দৈর্ঘ্য বিয়োগ করলেই অপর বাহুটি পাওয়া যাবে।
• হিসাবটি হলো: $10x - (4x + 3)$।
• বন্ধনী তুলে দিলে পাই: $10x - 4x - 3 = 6x - 3$।

অর্থাৎ, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $6x - 3$।

গাড়ির চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে তা বের করার জন্য আমরা খুব সহজ একটি হিসাব করতে পারি:

• চাকাটি ১ মিনিটে বা ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে ১২ বার।
• তাহলে, ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে: $\frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ বার।
• এখন, ৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরবে: $\frac{1}{5} \times 5 = 1$ বার।

আমরা জানি, চাকা একবার পূর্ণ আবর্তন করলে কেন্দ্রে $360^\circ$ কোণ উৎপন্ন হয়। যেহেতু ৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঠিক ১ বার ঘুরছে, তাই এটি মোট $360^\circ$ কোণ অতিক্রম করবে।