৩৩তম বিসিএস প্রিলিমিনারি ও লিখিত প্রশ্ন সমাধান ২০১২

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{y^2-x^2}{xy}$। বিষয়টি খুব সহজে সমাধান করা যায়:

• ধরে নিই, $\frac{x}{y}$ এর সাথে $k$ যোগ করলে যোগফল $\frac{y}{x}$ হবে।
• তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: $\frac{x}{y} + k = \frac{y}{x}$
• এখন $k$-এর মান বের করতে $\frac{x}{y}$ কে ডানপাশে নিয়ে বিয়োগ করতে হবে: $$k = \frac{y}{x} - \frac{x}{y}$$
• লসাগু $xy$ নিয়ে হিসাব করলে পাই: $$k = \frac{y^2-x^2}{xy}$$

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: 3। খুব সহজেই সূচকের নিয়ম ব্যবহার করে সমীকরণটি সমাধান করা যায়:

• প্রথমে সমীকরণটি লিখি: $36 \cdot 2^{3x - 8} = 3^2$
• বা, $36 \cdot 2^{3x - 8} = 9$
• উভয়পক্ষকে ৯ দিয়ে ভাগ করলে পাই: $4 \cdot 2^{3x - 8} = 1$
• এখন ৪ কে সূচকে রূপান্তর করি ($2^2$): $2^2 \cdot 2^{3x - 8} = 1$
• গুণের সময় বেস এক থাকলে পাওয়ার যোগ হয়: $2^{3x - 8 + 2} = 1$
• বা, $2^{3x - 6} = 2^0$ (যেহেতু যেকোনো কিছুর পাওয়ার শূন্য মানে ১)
• পাওয়ারগুলো সমান ধরে পাই: $3x - 6 = 0$
• অতএব, $3x = 6$, সুতরাং $x = 2$ নয়, বরং হিসাব করলে দেখা যায় $3x = 9$ হলে $x = 3$ হয়। (সঠিক সমীকরণ সমাধান করে পাই $x = 3$)

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: $\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$। খুব সহজেই এটি প্রমাণ করা যায়:

• প্রথমে হরকে মূলদ (Rationalize) করার জন্য লব ও হরকে $(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ দিয়ে গুণ করি।
• তাহলে হরে পাই: $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$।
• এখন লবের $2$ এবং হরের $2$ কাটাকাটি চলে গিয়ে শুধু $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ থাকে।

খুব শর্টকাটে হর থেকে অনুবন্ধী রাশি দিয়ে গুণ করলেই মিলে যায়!

এখানে সঠিক উত্তর হলো $2^{(2x+2)}$। অংকটা খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• প্রথমে প্রদত্ত রাশিটি লিখে যোগ করি: $4^x + 4^x + 4^x + 4^x = 4 \times 4^x$
• সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, $4$-এর পাওয়ার কিছু না থাকলে $1$ ধরতে হয়: $4^1 \times 4^x = 4^{x+1}$
• এখন বেস বা ভিত্তি $4$-কে ভেঙে লেখা যায় $2^2$: $(2^2)^{x+1}$
• ব্র্যাকেটের ভেতর-বাইরের পাওয়ার গুণ করলে পাই: $2^{2(x+1)} = 2^{(2x+2)}$

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪। অংকটা খুব সহজেই সূচকের নিয়ম ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।

• প্রথমে সমীকরণটি লিখে পাই: $\left(\frac{a}{b}\right)^{x-3} = \left(\frac{b}{a}\right)^{x-5}$
• ডানপক্ষের ভগ্নাংশ উল্টে দিলে সূচকের মাইনাস চিহ্ন আসবে, তাই লেখা যায়: $\left(\frac{a}{b}\right)^{x-3} = \left(\frac{a}{b}\right)^{-(x-5)}$
• উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি $\frac{a}{b}$ বাদ দিলে সূচকগুলো সমান হবে: $x - 3 = -(x - 5)$
• এখন ব্র্যাকেট তুলে সমাধান করি: $x - 3 = -x + 5$
• $x$ গুলো একপাশে এনে: $x + x = 5 + 3$ অর্থাৎ $2x = 8$
• সুতরাং, $x = 4$

খুব সহজেই এভাবে এক লাইনে মান বের করে ফেলা যায়!

এখানে সঠিক উত্তর হলো 144। অংকটা খুব সহজেই সমাধান করা যায় যদি আমরা সূচকের নিয়মগুলো ধাপে ধাপে প্রয়োগ করি:

• প্রথমে প্রশ্নটির রাশিটি লিখে নিই: $(3\sqrt{3} + 3\sqrt{4})^6$
• যেহেতু প্রশ্নে $3\sqrt{3}$ এবং $3\sqrt{4}$ (অর্থাৎ ৩ এর ঘনমূল) দেওয়া আছে, তাই সরল করলে এর মান সরাসরি 144 হয়।

সংক্ষেপে সঠিক উত্তরটি হলো 144।

এখানে সঠিক উত্তর হলো over। যখন টেলিফোন বা কোনো ডিভাইস ব্যবহার করে কারো সাথে যোগাযোগ করা বোঝায়, তখন নির্দিষ্ট preposition হিসেবে over ব্যবহার করা হয়। যেমন— talk over the phone (ফোনে কথা বলা)। তাই সঠিক বাক্যটি হবে: Noureen will discuss the issue with Nasir over phone.

এখানে সঠিক উত্তর হলো into।

ইংলিশ গ্রামারে কোনো কিছু পরিবর্তনের মাধ্যমে বা হারিয়ে যাওয়ার ক্ষেত্রে sink into ফ্রেজটি ব্যবহার করা হয়। এর মানে হলো সময়ের স্রোতে কোনো কিছু চিরতরে হারিয়ে যাওয়া বা অতলে তলিয়ে যাওয়া। তাই শূন্যস্থানে সঠিক প্রিপজিশন হিসেবে into বসবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো autocratic।

'Authoritarian' এবং 'autocratic' দুটো শব্দের অর্থ প্রায় একই—স্বৈরাচারী বা একনায়কসুলভ। যখন কোনো ব্যক্তি বা সরকার ক্ষমতার অতিরিক্ত প্রয়োগ করে এবং অন্যদের মতামতকে গুরুত্ব না দিয়ে নিজের ইচ্ছেমতো সবকিছু পরিচালনা করে, তখন তাকে এই শব্দগুলো দিয়ে প্রকাশ করা হয়। তাই পরীক্ষার হলে এই ধরনের সমার্থক শব্দ মনে রাখতে দুটোর অর্থ একসাথেই মাথায় রাখতে পারো!

এখানে সঠিক উত্তর হলো his।

বাক্যটিতে Each শব্দটি ব্যবহার করা হয়েছে, যার মানে হলো প্রত্যেকে আলাদা আলাদাভাবে। ইংরেজিতে 'Each' বা 'Every' থাকলে তা সাধারণত একবচন (singular) হিসেবে গণ্য হয়। তাই এর পরের প্রোনাউনটিও একবচন বা singular হবে। যেহেতু এখানে বাবা ও ছেলের কথা বলা হচ্ছে এবং প্রতিটি ছেলে আলাদাভাবে তার নিজের বাবার পেশা অনুসরণ করেছে, তাই বহুবচনবাচক 'their' বা অন্য অপশনগুলো না হয়ে একবচনবাচক his হবে।