ভেক্টর → A = 1 + 2j - 5k এবং → B = ai +3j + 2k । a এর মান ® উচ্চতাপমাত্রা ও নিম্ন চাপে কত হলে ভেক্টর দুটি লম্ব হবে?

এখানে সঠিক উত্তর হলো 45°। বিষয়টি খুব সহজেই বোঝা যায় যদি আমরা ত্রিকোণমিতিক মানের দিকে তাকাই।

• আমরা জানি, $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ এবং $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
• এখন এই মানগুলো সমীকরণে বসিয়ে পাই: $$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1+1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$$
• যেহেতু $2 = \sqrt{2} \times \sqrt{2}$, তাই কাটাকাটি করলে আমরা পাই: $$\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$

অর্থাৎ, $\theta = 45^\circ$ হলে সমীকরণটি সিদ্ধ হয়। তাই এটিই সঠিক উত্তর।

এখানে সঠিক উত্তর হলো পরস্পর বর্জনশীল সেট। বিষয়টি খুব সহজ, যখন দুটি সেটের মধ্যে কোনো মিল বা সাধারণ উপাদান থাকে না, তখন তাদের গাণিতিক ভাষায় পরস্পর বর্জনশীল বা Disjoint Set বলা হয়।

সহজভাবে মনে রাখার উপায়:

• যদি সেট $A$ এবং সেট $B$ এর মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে, তবে তাদের ছেদ সেট বা Intersection হবে ফাঁকা সেট।
• গাণিতিকভাবে এটি লেখা হয়: $A \cap B = \emptyset$
• যেহেতু এদের মধ্যে কোনো কমন এলিমেন্ট নেই, তাই এরা একে অপরের থেকে সম্পূর্ণ আলাদা বা বর্জনশীল।

\((a + b)^2\) এবং \(a^2 + b^2\) এর সম্পর্ক নির্ণয়ের জন্য বীজগণিতের সূত্র ও অসমতার ধারণা ব্যবহার করা হয়।

• আমরা জানি, \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• উভয়পক্ষ থেকে \(a^2 + b^2\) বাদ দিলে অবশিষ্ট থাকে কেবল \(2ab\)।
• বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে \(2ab\)-এর মান ধনাত্মক, ঋণাত্মক কিংবা শূন্য হতে পারে।
• যখন \(2ab \ge 0\) হয়, তখন \((a + b)^2 \ge a^2 + b^2\) হয়।

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো বড় বা সমান।