গণিত

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের দুটি সমান কোণের সমষ্টি (৫০° + ৫০°) = ১০০°। ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০° হওয়ায়, তৃতীয় কোণটির পরিমাপ হবে (১৮০° - ১০০°) = ৮০°।

সঠিক উত্তর হলো ৬৭৫।

অনুপাত ও সমানুপাত নিয়মানুসারে অনুপাতটির সহজ সমাধান নিচে দেওয়া হলো:

• ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাতের যোগফল = ৯ + ৫ = ১৪
• মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ১০৫০ জন

অতএব, ছাত্রের সংখ্যা = ১০৫০ × (৯ ÷ ১৪) = ৬৭৫ জন।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: 20 : 35 : 42। বিষয়টা একদম সহজ!

দুটি অনুপাতকে একসাথে $a : b : c$ আকারে প্রকাশ করার জন্য উভয় অনুপাতে $b$-এর মান সমান করতে হবে:

• প্রথম অনুপাত $a : b = 4 : 7$-কে $5$ দিয়ে গুণ করলে পাই: $a : b = 20 : 35$
• দ্বিতীয় অনুপাত $b : c = 5 : 6$-কে $7$ দিয়ে গুণ করলে পাই: $b : c = 35 : 42$

এখন দুটো অনুপাতেই $b$-এর মান 35 সমান হয়ে গেছে, তাই সহজেই লেখা যায় $a : b : c = 20 : 35 : 42$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option B: 104। অংকটি আমরা খুব সহজেই ঐকিক নিয়মে সমাধান করতে পারি:

• সংখ্যার অনুপাত দেওয়া আছে $5 : 8$, যার মধ্যে ছোট অংশটি $5$ এবং বড় অংশটি $8$।
• প্রশ্নমতে, $5$ অনুপাত সমান $65$।
• তাহলে, $1$ অনুপাত সমান $\frac{65}{5} = 13$।
• সুতরাং, বড় সংখ্যাটি হবে $8$ অনুপাত = $13 \times 8 = 104$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৪২। অনুপাতের সহজ নিয়মে হিসেবটি নিচে দেওয়া হলো:

• প্রশ্নমতে, অনুপাতটি $4 : 7$। অর্থাৎ পূর্ব রাশি $4$ অংশ হলে উত্তর রাশি $7$ অংশ।
• দেওয়া আছে, পূর্ব রাশি $4$ অংশের মান $24$।
• তাহলে, $1$ অংশের মান $= \frac{24}{4} = 6$।
• সুতরাং, উত্তর রাশি বা $7$ অংশের মান $= 7 \times 6 = 42$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩ : ১। লোকটির আয় থেকে ব্যয় বাদ দিলেই প্রথমে তার সঞ্চয় বের হয়ে যাবে:

• লোকটির সাপ্তাহিক আয় $4500$ টাকা এবং ব্যয় $3000$ টাকা।
• তাহলে সঞ্চয়ের পরিমাণ = $4500 - 3000 = 1500$ টাকা।
• এখন, আয়ের সাথে সঞ্চয়ের অনুপাত হবে = $4500 : 1500$
• উভয় সংখ্যাকে $1500$ দিয়ে ভাগ করলে অনুপাতটি দাঁড়ায় $3 : 1$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৩ লিটার। সহজ শর্টকাট নিয়মে হিসাবটি করে ফেলা যাক:

• ৩২ লিটার মিশ্রণে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত $5 : 3$ (মোট অনুপাত $5 + 3 = 8$ ভাগ)।
• পেট্রোলের পরিমাণ $= 32 \times \frac{5}{8} = 20$ লিটার।
• অকটেনের পরিমাণ $= 32 \times \frac{3}{8} = 12$ লিটার।
• অকটেন মেশালেও পেট্রোলের পরিমাণ কিন্তু $20$ লিটারই থাকবে।
• নতুন অনুপাত $4 : 5$ অনুযায়ী, পেট্রোলের $4$ ভাগ $= 20$ লিটার। সুতরাং $1$ ভাগ $= \frac{20}{4} = 5$ লিটার।
• তাহলে নতুন অকটেনের পরিমাণ ($5$ ভাগ) $= 5 \times 5 = 25$ লিটার।
• অর্থাৎ, বাড়তি অকটেন মেশাতে হবে $(25 - 12) = 13$ লিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১২০। এ ধরনের অংক খুব সহজেই একটি শর্টকাট ট্রিক দিয়ে সমাধান করা যায়:

• দুটি সংখ্যার অনুপাত এবং গ.সা.গু দেওয়া থাকলে, ল.সা.গু বের করার নিয়ম হলো অনুপাতের পদ দুটি ও গ.সা.গু-কে একসাথে গুণ করে দেওয়া।
• অতএব, নির্ণেয় ল.সা.গু = $5 \times 6 \times 4 = 120$

খুব সহজ, তাই না? উত্তরটি হলো ১২০।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 12.0। সূত্র দিয়ে বা মুখে মুখে—খুব সহজেই এটি সমাধান করা যায়।

সমানুপাতের নিয়ম অনুযায়ী:

• প্রথম সংখ্যা : দ্বিতীয় সংখ্যা = তৃতীয় সংখ্যা : চতুর্থ সংখ্যা
• অর্থাৎ, $3 : 9 = 4 : x$

গাণিতিক হিসাবটি হলো:

সহজ ট্রিক: প্রথম সংখ্যা $3$ এর $3$ গুণ হলো দ্বিতীয় সংখ্যা $9$ ($3 \times 3 = 9$)। একইভাবে, তৃতীয় সংখ্যা $4$ এর $3$ গুণ হবে চতুর্থ সংখ্যাটি, অর্থাৎ $4 \times 3 = 12$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 4 : 7। শর্টকাট নিয়মে খুব সহজেই উত্তরটি বের করে ফেলা যায়:

• প্রথমে অনুপাতগুলোকে ভগ্নাংশ আকারে সাজিয়ে পাই, $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ এবং $\frac{b}{c} = \frac{7}{6}$
• যেহেতু আমাদের $c : a$ বা $\frac{c}{a}$ বের করতে হবে, তাই ভগ্নাংশ দুটিকে উল্টে নিলে পাই: $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$ এবং $\frac{c}{b} = \frac{6}{7}$
• এখন দুটি ভগ্নাংশ গুণ করলেই সরাসরি $c : a$ চলে আসবে: $$\frac{c}{a} = \frac{c}{b} \times \frac{b}{a} = \frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{7}$$

অর্থাৎ, $c : a = 4 : 7$।