৪২তম বিসিএস (বিশেষ) পরীক্ষা [স্বাস্থ্য ক্যাডার) প্রিলিমিনারি ও লিখিত প্রশ্ন সমাধান ২০২১

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৩ লিটার। সহজ শর্টকাট নিয়মে হিসাবটি করে ফেলা যাক:

• ৩২ লিটার মিশ্রণে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত $5 : 3$ (মোট অনুপাত $5 + 3 = 8$ ভাগ)।
• পেট্রোলের পরিমাণ $= 32 \times \frac{5}{8} = 20$ লিটার।
• অকটেনের পরিমাণ $= 32 \times \frac{3}{8} = 12$ লিটার।
• অকটেন মেশালেও পেট্রোলের পরিমাণ কিন্তু $20$ লিটারই থাকবে।
• নতুন অনুপাত $4 : 5$ অনুযায়ী, পেট্রোলের $4$ ভাগ $= 20$ লিটার। সুতরাং $1$ ভাগ $= \frac{20}{4} = 5$ লিটার।
• তাহলে নতুন অকটেনের পরিমাণ ($5$ ভাগ) $= 5 \times 5 = 25$ লিটার।
• অর্থাৎ, বাড়তি অকটেন মেশাতে হবে $(25 - 12) = 13$ লিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১২০। এ ধরনের অংক খুব সহজেই একটি শর্টকাট ট্রিক দিয়ে সমাধান করা যায়:

• দুটি সংখ্যার অনুপাত এবং গ.সা.গু দেওয়া থাকলে, ল.সা.গু বের করার নিয়ম হলো অনুপাতের পদ দুটি ও গ.সা.গু-কে একসাথে গুণ করে দেওয়া।
• অতএব, নির্ণেয় ল.সা.গু = $5 \times 6 \times 4 = 120$

খুব সহজ, তাই না? উত্তরটি হলো ১২০।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 12.0। সূত্র দিয়ে বা মুখে মুখে—খুব সহজেই এটি সমাধান করা যায়।

সমানুপাতের নিয়ম অনুযায়ী:

• প্রথম সংখ্যা : দ্বিতীয় সংখ্যা = তৃতীয় সংখ্যা : চতুর্থ সংখ্যা
• অর্থাৎ, $3 : 9 = 4 : x$

গাণিতিক হিসাবটি হলো:

সহজ ট্রিক: প্রথম সংখ্যা $3$ এর $3$ গুণ হলো দ্বিতীয় সংখ্যা $9$ ($3 \times 3 = 9$)। একইভাবে, তৃতীয় সংখ্যা $4$ এর $3$ গুণ হবে চতুর্থ সংখ্যাটি, অর্থাৎ $4 \times 3 = 12$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 4 : 7। শর্টকাট নিয়মে খুব সহজেই উত্তরটি বের করে ফেলা যায়:

• প্রথমে অনুপাতগুলোকে ভগ্নাংশ আকারে সাজিয়ে পাই, $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ এবং $\frac{b}{c} = \frac{7}{6}$
• যেহেতু আমাদের $c : a$ বা $\frac{c}{a}$ বের করতে হবে, তাই ভগ্নাংশ দুটিকে উল্টে নিলে পাই: $\frac{b}{a} = \frac{2}{3}$ এবং $\frac{c}{b} = \frac{6}{7}$
• এখন দুটি ভগ্নাংশ গুণ করলেই সরাসরি $c : a$ চলে আসবে: $$\frac{c}{a} = \frac{c}{b} \times \frac{b}{a} = \frac{6}{7} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{7}$$

অর্থাৎ, $c : a = 4 : 7$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো কোনোটিই নয়। কারণ অনুপাত এবং গ.সা.গু দেওয়া থাকলে ল.সা.গু বের করার খুব সহজ একটি শর্টকাট নিয়ম রয়েছে।

শর্টকাট নিয়ম:

• ল.সা.গু = অনুপাতের পদদ্বয়ের গুণফল $\times$ গ.সা.গু

সহজ হিসেবটি দেখে নেওয়া যাক:

• অনুপাতের পদদ্বয়: $5$ ও $6$
• গ.সা.গু: $4$
• অতএব, সঠিক ল.সা.গু = $5 \times 6 \times 4 = 120$

যেহেতু সঠিক ল.সা.গু ১২০ অপশনগুলোর মধ্যে দেওয়া নেই, তাই সঠিক উত্তর হলো কোনোটিই নয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১৬ গুণ। বিষয়টা খুব সহজ হিসাবের মাধ্যমে বুঝে নেওয়া যায়:

• মনে করি, সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য $x$ একক।
• তাহলে পুরো সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = $x^2$ বর্গ একক।
• সরলরেখাটির এক-চতুর্থাংশের দৈর্ঘ্য = $\frac{x}{4}$ একক।
• এই এক-চতুর্থাংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = $\left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$ বর্গ একক।

অতএব, মূল বর্গের ক্ষেত্রফল হবে ছোট বর্গের ক্ষেত্রফলের $x^2 \div \frac{x^2}{16} = 16$ গুণ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 36। একদম সহজে হিসাবটি বুঝে নেওয়া যাক:

• প্রথমে, ৪-এর বর্গ হলো $4^2 = 16$।
• প্রশ্নানুসারে, বর্গমূলের সাথে $10$ যোগ করলে যদি $16$ হয়, তবে সংখ্যাটির বর্গমূল হবে $16 - 10 = 6$।
• যেহেতু সংখ্যাটির বর্গমূল $6$, তাই মূল সংখ্যাটি হবে $6^2 = 36$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো বিপ্রতীপ কোণ। বিষয়টায় জটিলতার কিছু নেই!

দুটি সরলরেখা যখন একে অপরকে ছেদ করে, তখন ছেদবিন্দুতে মোট চারটি কোণ তৈরি হয়। এই কোণগুলোর মধ্যে একজোড়া কোণ যারা একদম মুখোমুখি বা আড়াআড়ি বিপরীতে অবস্থান করে, তাদের একটিকে অপরটির বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angle) বলা হয়।

সহজ কথায়, ছেদবিন্দুর বিপরীত পাশের কোণ দুটিই হলো বিপ্রতীপ কোণ এবং এদের পরিমাপ সবসময় পরস্পর সমান হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো বিপ্রতীপ কোণ।

দুটি সরলরেখা যখন একটি বিন্দুতে পরস্পর ছেদ করে, তখন ছেদবিন্দুর ঠিক বিপরীত পাশে মুখোমুখি যে কোণগুলো তৈরি হয়, তাদের একটিকে অপরটির বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angle) বলা হয়।

বিষয়টি মনে রাখার সহজ উপায়:

• দুটি রেখা একে অপরকে 'X' চিহ্নের মতো ছেদ করলে ঠিক সামনাসামনি বা বিপরীত কোণগুলোই বিপ্রতীপ কোণ।
• বিপ্রতীপ কোণদ্বয়ের পরিমাপ সবসময় সমান হয় (যেমন: $\angle 1 = \angle 2$)।

সহজ একটা শর্টকাট দিয়ে হিসাবটি করে ফেলা যায়:

• ১৫ জনের অর্ধেক কাজ করতে ২০ দিন লাগলে, সম্পূর্ণ কাজ করতে লাগবে $20 \times 2 = 40$ দিন।
• লোকসংখ্যা ও দিনের সম্পর্ক অনুযায়ী: $M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$
• মান বসিয়ে পাই: $15 \times 40 = 20 \times D_2$
• বা, $D_2 = \frac{15 \times 40}{20} = 30$ দিন।

সুতরাং, ২০ জন লোক ৩০ দিনে সম্পূর্ণ কাজটি শেষ করতে পারবে।