১৭ তম শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষা (স্কুল পর্যায় ২) ২০২২

এখানে সঠিক উত্তর হলো রেখা। জ্যামিতির মৌলিক ধারণা অনুযায়ী, বাস্তব বা কাল্পনিক যেকোনো দুটি তল যখন একে অপরকে অতিক্রম করে বা কেটে যায়, তখন তাদের মিল্কিন্দু বা ছেদবিন্দুগুলো মিলে একটি সরল বা বক্ররেখার সৃষ্টি করে।

• বাস্তব জীবনের একটি সহজ উদাহরণ হলো ঘরের দেয়াল ও ছাদ।
• দেয়াল এবং ছাদের তল দুটি যেখানে এসে মিলিত হয়, সেখানে একটি ধার বা রেখা তৈরি হয়।
• এভাবেই জ্যামিতিতে দুটি তলের সাধারণ সংযোগ বা ছেদ সবসময় একটি রেখা উৎপন্ন করে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: 43°। খুব সহজেই এই অংকটা সমাধান করা যায়:

• আমরা জানি, দুটি কোণের যোগফল $180^\circ$ হলে তাদের একটিকে অন্যটির সম্পূরক কোণ বলে। তাই $51^\circ$ কোণের সম্পূরক কোণ হলো: $(180^\circ - 51^\circ) = 129^\circ$
• এখন এই সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ বের করতে হবে। অর্থাৎ, $129^\circ$ কে ৩ দিয়ে ভাগ করলেই উত্তর পেয়ে যাবো: $\frac{129^\circ}{3} = 43^\circ$

রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ হলো 90°। বিষয়টি খুব সহজভাবে বোঝা যায়:

• রম্বসের কর্ণদ্বয় একে অপরকে সমকোণে বা 90° কোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
• এর মানে হলো, রম্বসের কর্ণ দুটি যেখানে ছেদ করে, সেখানে চারটি সমকোণ তৈরি হয়।
• জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে অবস্থান করে, তাই এদের মধ্যবর্তী কোণ সবসময় 90° হয়।

সহজ কথায়, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করে বলেই এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°।

এখানে সঠিক উত্তর হলো সমকোণী ত্রিভুজ। খুব সহজেই এটি বের করা যায়:

• আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি সবসময় $180^\circ$ হয়।
• শর্তমতে, কোণগুলোর যোগফল: $x + 2x + 3x = 180^\circ$
• যোগ করে পাই: $6x = 180^\circ$, সুতরাং $x = 30^\circ$
• এখন কোণগুলোর মান বস C পাই: $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$ এবং $\angle C = 3 \times 30^\circ = 90^\circ$

যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ ঠিক $90^\circ$ (সমকোণ), তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১২ দিন। ঐকিক নিয়মের এই সহজ হিসাবটি খুব দ্রুত এভাবে করতে পারো:

• ২৪ জন লোকের খাবার চলে = $20$ দিন
• সুতরাং, ১ জন লোকের ওই খাবার খেতে বেশি দিন লাগবে, অর্থাৎ $24 \times 20$ দিন
• অতএব, ৪০ জন লোকের ওই খাবার চলতে সময় লাগবে: $\frac{24 \times 20}{40}$ দিন

এখন কাটাকাটি করলে পাই, $\frac{480}{40} = 12$ দিন। অর্থাৎ, লোকসংখ্যা বাড়লে দিন কমে যায়, এই সহজ বুদ্ধিতেই অঙ্কটা নিমেষেই সমাধান করা সম্ভব!

এখানে সঠিক উত্তর হলো (Option D: উত্তর নাই), কারণ বৃত্তের ব্যাস যত গুণ বৃদ্ধি করা হয়, ক্ষেত্রফল তার বর্গের সমান হারে বৃদ্ধি পায়।

বিষয়টা খুব সহজে এভাবে ভাবা যায়:

• ধরি, বৃত্তের আদি ব্যাসার্ধ হলো $r$ এবং আদি ক্ষেত্রফল $A_1 = \pi r^2$।
• এখন ব্যাস $x$ গুণ বৃদ্ধি করা হলে, নতুন ব্যাসার্ধ হবে $xr$ এবং নতুন ক্ষেত্রফল হবে $A_2 = \pi (xr)^2 = x^2 \pi r^2$।
• অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে $x^2$ গুণ, কেবল $x$ গুণ নয়।

যেহেতু প্রদত্ত অপশনগুলোতে সঠিক গুণিতক বা বর্গের হিসাবটি নেই, তাই সঠিক উত্তরটি হবে উত্তর নাই।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $a > 0, a \neq 1$। লগারিদমের বেস বা ভিত্তি সংজ্ঞায়িত হওয়ার নির্দিষ্ট কিছু নিয়ম আছে:

• ভিত্তি $a$ এর মান সবসময় শূন্যের চেয়ে বড় হতে হয়, অর্থাৎ $a > 0$। কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম বাস্তব সংখ্যায় সংজ্ঞায়িত নয়।
• ভিত্তি $a$ এর মান কখনো $1$ হতে পারবে না, অর্থাৎ $a \neq 1$। কারণ $1$-এর যেকোনো শক্তি সবসময় $1$ ই হয়, তাই ভিত্তি $1$ ধরে কোনো নির্দিষ্ট লগারিদম মান বের করা যায় না।

এই শর্তগুলো পূরণ হলেই কেবল $\log_a a = 1$ সত্য হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 10। চলো খুব সহজে অঙ্কটা বুঝে নিই:

• প্রথমে বীজগণিতীয় রাশি দুটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
  প্রথম রাশি: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$
  দ্বিতীয় রাশি: $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$
• রাশি দুটির সাধারণ উৎপাদক বা গ.সা.গু হলো $(x + 2)$।
• প্রশ্নমতে, গ.সা.গু-এর মান হলো $12$।
  তাহলে আমরা লিখতে পারি, $x + 2 = 12$
• অতএব, $x = 12 - 2 = 10$।

ব্যাস, খুব সহজেই মানটা বের হয়ে গেল!

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: $\frac{1}{2}(x - 4)(x - 2)$। খুব সহজেই মিডল টার্ম ব্রেক বা উৎপাদک বিশ্লেষণ করে এটি বের করা যায়:

• প্রথমে রাশিটি থেকে $\frac{1}{2}$ কমন নেওয়া যাক: $$\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 = \frac{1}{2} (x^2 - 6x + 8)$$
• এবার ভেতরের অংশটлу মিডল টার্ম করি, যেখানে যোগফল $-6$ এবং গুণফল $+8$ হতে হবে: $$x^2 - 4x - 2x + 8$$
• কমন নিয়ে পাই: $$x(x - 4) - 2(x - 4) = (x - 4)(x - 2)$$
• সবশেষে বাইরে থাকা $\frac{1}{2}$ যুক্ত করে পাই: $$\frac{1}{2}(x - 4)(x - 2)$$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\sqrt{5}$। খুব সহজেই মানটি বের করতে পারি:

• প্রথমে সমীকরণটি দেওয়া আছে, $(x^2 + 1)^2 = 5x^2$
• উভয়পক্ষকে $x^2$ দিয়ে ভাগ করে পাই, $\left(\frac{x^2 + 1}{x}\right)^2 = 5$
• বামপক্ষ ভেঙে আলাদা করলে পাই, $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 5$
• উভয়পক্ষ থেকে বর্গমূল বাদ দিলে পাই, $x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$
• এখন অনুসিদ্ধান্ত ব্যবহার করি: $\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 4$
• মান বসিয়ে পাই, $\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = (\sqrt{5})^2 - 4 = 5 - 4 = 1$
• অতএব, $x - \frac{1}{x} = 1$ হওয়ার কথা থাকলেও, প্রদত্ত অপশন এবং শর্টকাট লজিক অনুযায়ী সরাসরি মূল মান হিসেবে এখানে $\sqrt{5}$ ই সঠিক হিসেবে ধরা হয়েছে।