(-1, 1) উপকেন্দ্র এবং (2, -3) শীর্ষ বিন্দু বিশিষ্ট পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

f'(x) = 1.e^{-kx} - kxe^{-kx} = e^{-kx}(1 - kx); সর্বাধিক মানের জন্য, f'(x) = 0 => e^{-kx}(1 - kx) = 0 => x = 1/k. f''(x) = ke^{-kx}(kx - 2); f''(1/k) = ke^{-1}(1 - 2) = -k/e < 0; সর্বাধিক মান পাওয়া যাবে. অতএব সর্বাধিক মান = f(1/k) = (1/k)e^{-1} = 1/(ek)

3x² + ax + 2y² - by - 2 = 0 ⇒ 3{x² + 2x(a/6) + (a/6)²} + 2{y² - 2y(b/4) + (b/4)²} = 2 + a²/12 + b²/8 ⇒ (x + a/6)² / {(2 + a²/12 + b²/8)/3} + (y - b/4)² / {(2 + a²/12 + b²/8)/2} = 1 কেন্দ্র (X, Y) = (0, 0) ∴ X = 0 ⇒ x + a/6 = 0 ⇒ x = -a/6 ∴ Y = 0 ⇒ y - b/4 = 0 ⇒ y = b/4 ∴ কেন্দ্র = (-a/6, b/4) প্রশ্নমতে, (-a/6, b/4) = (-1, 1) ∴ -a/6 = -1 ⇒ a = 6 ∴ b/4 = 1 ⇒ b = 4

\alpha^2 = 5\alpha - 3 \text{ এবং } \beta^2 = 5\beta - 3 \text{ উভয় সমীকরণই } x^2 - 5x + 3 = 0 \text{ কে নির্দেশ করে। অর্থাৎ, } \alpha, \beta \text{ উভয়েই } x^2 - 5x + 3 = 0 \text{ সমীকরণের মূল \alpha + \beta = 5 \text{ এবং } \alpha\beta = 3 \text{ মূলদ্বয় } \frac{\alpha}{\beta} \text{ ও } \frac{\beta}{\alpha} \text{ এদের যোগফল } = \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta} = \frac{5^2 - 2 \times 3}{3} = \frac{19}{3} \text{ এবং গুণফল } = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right) \left(\frac{\beta}{\alpha}\right) = 1 \text{ সমীকরণটিঃ } x^2 - \left(\frac{19}{3}\right)x + 1 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 19x + 3 = 0

h = ut - 1/2 gt² ⇒ 1/2 gt² - ut + h = 0 ........ (i) এখানে t₁ ও (t₁ + 1) হলো (i) নং সমীকরণের দুটি মূল। আমরা জানি, ax² + bx + c = 0 এর মূলদ্বয় α, β হলে, αβ = c/a t₁(t₁ + 1) = h / (1/2 g) = 2 (ধরি h ও g এর মান অনুসারে 2) ⇒ t₁² + t₁ - 2 = 0 ⇒ (t₁ - 1)(t₁ + 2) = 0 ⇒ t₁ = 1 sec

P² + (\sqrt{3}P)² + 2.P.\sqrt{3}P cosα = P² => 3P² + 2\sqrt{3}P² cosα = 0 => cosα = -\sqrt{3}/2 => α = 150°

s = \frac{1}{3}t^3 + t^2 + 3t => v = ds/dt = t^2 + 2t + 3. a = dv/dt = 2t + 2; t = 1 হলে a = 2.1 + 2 = 4 ms⁻² = \frac{4m}{sec^2}

Let, z = \tan^{-1}x \Rightarrow x = \tan z \Rightarrow dx = \frac{dx}{(1+x^2)}, x = 0 হলে, z = 0 \int \frac{e^{4az}}{(1+tan^2 z)^n} dz = \int e^{4az} \cos^2 z dz = \frac{1}{2} \int e^{4az} (1 + \cos 2z) dz = \frac{1}{2} \int e^{4az} dz + \frac{1}{2} \int e^{4az} \cos 2z dz = \frac{1}{2} \frac{e^{4az}}{4a} + \frac{1}{2} \frac{e^{4az}}{4^2 + 2^2} (4 \cos 2z + 2 \sin 2z) = \frac{e^{4az}}{20} (2 \cos 2z + \sin 2z) + C = \frac{1}{20} (2 \cos 0 + \sin 0) + C = \frac{3}{5} \Rightarrow (\frac{1}{8} + \frac{1}{10}) + C = \frac{3}{5} \Rightarrow C = \frac{3}{5} - (\frac{1}{8} + \frac{1}{10}) = \frac{3}{8}

tan⁻¹(2((x-1)/(x+1)) / (1 - ((x-1)/(x+1))²)) = tan⁻¹(-1/√3) ⇒ (2(x² - 1)) / (4x) = -1/√3 ⇒ (x² - 1) / (2x) = -1/√3 ⇒ √3 x² + 2x - √3 = 0 ⇒ (x + √3)(√3 x - 1) = 0 ⇒ x = -√3, 1/√3

1/n অংশ হয়, তাহলে আর অতিক্রম করবে, x = s / (n² - 1). এখানে s = 3 cm, বেগ আদিবেগের 1/2 অংশ হয় অর্থাৎ n = 2. সুতরাং x = 3 / (2² - 1) = 1 cm

উপবৃত্তের নিয়ামক, 3y = ±25 ⇒ y = ±25/3 যা x অক্ষের সমান্তরাল। সুতরাং, b > a y = ±b/e ⇒ b/e = 25/3 ⇒ b² / √(b² - a²) = 25/3 ⇒ b²/3 = 25/3 ⇒ b² = 25 উপকেন্দ্র (0, ±be) = (0, ±√(b² - a²)) = (0, ±3) ⇒ √(b² - a²) = 3 ⇒ b² - a² = 9 ⇒ a² = 16 ∴ নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ, x²/16 + y²/25 = 1