একটি গাছের পাদদেশ হতে 26√3 মিটার দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30° হলে, গাছটির উচ্চতা কত মিটার?

কোনো দ্বিঘাত রাশি $ax^2 + bx + c$ পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত হলো এর নিশ্চায়ক বা ডিসক্রিমিন্যান্টের মান শূন্য হতে হবে। অর্থাৎ, $b^2 - 4ac = 0$।

এখানে দেওয়া রাশিটি হলো $kx^2 + 3x + 4$। এখানে $a = k$, $b = 3$ এবং $c = 4$। এখন শর্ত অনুযায়ী মানগুলো বসিয়ে পাই:

• $3^2 - 4 \times k \times 4 = 0$
• $9 - 16k = 0$
• $16k = 9$
• $k = \frac{9}{16}$

সহজ কথায়, $k$-এর মান $\frac{9}{16}$ হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 120। বিষয়টি খুব সহজে সমাধান করা যায় এভাবে:

• প্রথমে আমাদের দেওয়া আছে $x : y = 4 : 3$। যেহেতু $x = 200$, তাই আমরা লিখতে পারি $\frac{200}{y} = \frac{4}{3}$। এখান থেকে হিসাব করলে পাই, $4y = 600$, অর্থাৎ $y = 150$।
• এখন দ্বিতীয় অনুপাতটি ব্যবহার করি, যেখানে $y : z = 5 : 4$। অর্থাৎ $\frac{y}{z} = \frac{5}{4}$।
• $y$-এর মান $150$ বসিয়ে পাই, $\frac{150}{z} = \frac{5}{4}$।
• কোণাকুণি গুণ করলে দাঁড়ায়, $5z = 150 \times 4$ বা $5z = 600$।
• সুতরাং, $z = \frac{600}{5} = 120$।

এভাবে ধাপে ধাপে এগোলে খুব সহজেই $z$-এর মান বের করা সম্ভব!

এখানে সঠিক উত্তর হলো -1। বিষয়টি খুব সহজ, শুধু রেখা দুটির ঢাল বের করে গুণ করলেই উত্তর পাওয়া যাবে।

• প্রথম রেখা $x - 2y - 10 = 0$ কে $y = mx + c$ আকারে সাজালে পাই, $2y = x - 10$ বা $y = \frac{1}{2}x - 5$। এখানে ঢাল, $m_1 = \frac{1}{2}$।
• দ্বিতীয় রেখা $2x + y - 3 = 0$ কে সাজালে পাই, $y = -2x + 3$। এখানে ঢাল, $m_2 = -2$।
• এখন ঢালদ্বয়ের গুণফল হলো, $m_1 \times m_2 = \frac{1}{2} \times (-2) = -1$।

সহজ কথায়, রেখা দুটি একে অপরের ওপর লম্ব হওয়ায় এদের ঢালদ্বয়ের গুণফল সবসময় -1 হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৩৬। বিষয়টি খুব সহজ, কারণ এই অনুক্রমটি মূলত স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের একটি ধারা।

• প্রথম সংখ্যা: $1^2 = 1$
• দ্বিতীয় সংখ্যা: $2^2 = 4$
• তৃতীয় সংখ্যা: $3^2 = 9$
• চতুর্থ সংখ্যা: $4^2 = 16$
• পঞ্চম সংখ্যা: $5^2 = 25$

ধারা অনুযায়ী পরবর্তী সংখ্যাটি হবে ৬-এর বর্গ, অর্থাৎ: $$6^2 = 36$$

পরমমান বা মডুলাস চিহ্নের ভেতরের অংশটি যখন কোনো সংখ্যার চেয়ে ছোট বা সমান হয়, তখন আমরা খুব সহজেই একে একটি সীমার মধ্যে নিয়ে আসতে পারি। গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী, $|x| \le a$ হলে, $-a \le x \le a$ হয়। এই নিয়মটি এখানে প্রয়োগ করলে সমাধানটি একদম পরিষ্কার হয়ে যায়:

• প্রদত্ত অসমতাটি হলো: $|3x - 4| \le 2$
• নিয়ম অনুযায়ী একে লেখা যায়: $-2 \le 3x - 4 \le 2$
• এখন সবগুলোর সাথে $4$ যোগ করলে পাই: $-2 + 4 \le 3x \le 2 + 4$
• অর্থাৎ: $2 \le 3x \le 6$
• সবশেষে $3$ দিয়ে ভাগ করলে আমরা পাই: $\frac{2}{3} \le x \le 2$

এভাবেই খুব সহজে আমরা বুঝতে পারি যে, $x$-এর মান $\frac{2}{3}$ থেকে $2$-এর মধ্যে থাকবে। তাই সঠিক উত্তর হলো $\frac{2}{3} \le x \le 2$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো মূলদ সংখ্যা। বিষয়টি খুব সহজ, কারণ কোনো সংখ্যাকে যদি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তবেই সেটি মূলদ সংখ্যা হয়।

চলুন দেখে নিই কেন এটি মূলদ সংখ্যা:

• প্রদত্ত সংখ্যাটি হলো $$\sqrt{\frac{9}{4}}$$।
• আমরা জানি, ৯ এর বর্গমূল হলো ৩ এবং ৪ এর বর্গমূল হলো ২।
• অর্থাৎ, $$\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$$।
• যেহেতু $$\frac{3}{2}$$ কে লব ও হর আকারে প্রকাশ করা গেছে, তাই এটি একটি মূলদ সংখ্যা।

সহজ কথায়, যে সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসেবে লেখা সম্ভব, সেটিই মূলদ। তাই এখানে সঠিক উত্তরটি হবে মূলদ সংখ্যা।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 2। বিষয়টি খুব সহজভাবে বোঝা যায় যদি আমরা $x$-এর মান বের করে নিই।

• দেওয়া আছে, $x + \frac{1}{x} = 2$।
• আমরা যদি $x = 1$ ধরি, তবে সমীকরণটি দাঁড়ায়: $1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2$। অর্থাৎ, এখানে $x$-এর মান নিশ্চিতভাবেই $1$।
• এখন, আমাদের বের করতে হবে $x^4 + \frac{1}{x^4}$ এর মান।
• যেহেতু $x = 1$, তাই মানটি হবে: $1^4 + \frac{1}{1^4} = 1 + 1 = 2$।

খুব সহজেই আমরা দেখলাম যে, $x$-এর মান $1$ বসিয়ে দিলেই উত্তরটি চলে আসে। তাই সঠিক উত্তর 2।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 0.001। লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী, যখন ভিত্তি বা বেস দেওয়া থাকে, তখন মান বের করা খুবই সহজ।

• লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $\log_{10}x = -3$ হয়, তবে একে সূচকের আকারে লিখলে দাঁড়ায় $x = 10^{-3}$।
• আমরা জানি, কোনো সংখ্যার পাওয়ার মাইনাস থাকলে তা ভগ্নাংশ হয়ে যায়। অর্থাৎ, $10^{-3} = \frac{1}{10^3}$।
• এখন $10^3$ মানে হলো $10 \times 10 \times 10 = 1000$।
• সুতরাং, $x = \frac{1}{1000} = 0.001$।

সহজ কথায়, দশমিকের পর তিনটি ঘর থাকবে কারণ পাওয়ারে $-3$ আছে। তাই উত্তরটি হবে 0.001।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 40। বিষয়টি খুব সহজ, ইংরেজি বর্ণমালার ক্রম অনুযায়ী বর্ণগুলোর মান যোগ করলেই উত্তরটি পাওয়া যায়।

• বর্ণমালার ক্রম অনুযায়ী, P = 16।
• TAP শব্দটির ক্ষেত্রে: T = 20, A = 1, P = 16। এদের যোগফল হলো: $20 + 1 + 16 = 37$।
• একইভাবে, CUP শব্দটির মান বের করতে হবে: C = 3, U = 21, P = 16।
• সুতরাং, মোট মান হবে: $3 + 21 + 16 = 40$।

অর্থাৎ, প্রতিটি বর্ণের অবস্থানগত মান যোগ করলেই আমরা কাঙ্ক্ষিত ফলাফলটি পেয়ে যাচ্ছি।

যেকোনো সেটের উপসেট হলো ফাঁকা সেট বা Ø। এর কারণটা খুব সহজ:

• উপসেটের সংজ্ঞা অনুযায়ী, একটি সেটের প্রতিটি উপাদান যদি অন্য একটি সেটের সদস্য হয়, তবেই তাকে উপসেট বলা হয়।
• ফাঁকা সেটের ভেতরে কোনো উপাদান নেই, তাই যুক্তিগতভাবে এটি যেকোনো সেটের ভেতরেই বিদ্যমান থাকে।
• গণিতের নিয়ম অনুযায়ী, যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হয়, তবে তার মোট উপসেটের সংখ্যা হয় $2^n$।
• একটি ফাঁকা সেটের ক্ষেত্রে উপাদান সংখ্যা $n = 0$ হলে, উপসেট সংখ্যা হয় $2^0 = 1$। এই একটি উপসেটই হলো সেই ফাঁকা সেট বা Ø।

তাই মনে রাখবে, পৃথিবীর যেকোনো সেটের গঠন যাই হোক না কেন, Ø সবসময় তার একটি অবিচ্ছেদ্য অংশ বা উপসেট হিসেবে থাকে।