জনপ্রশাসন মন্ত্রণালয়ের প্রশাসনিক কর্মকর্তা (২৩.০৬.২০১৬)

এখানে সঠিক উত্তর হলো সবগুলোই সঠিক। কারণ খুব সহজে মান নির্ণয় করলেই বিষয়টি পরিষ্কার হয়ে যায়:

প্রথমে দেওয়া আছে, $a + \frac{1}{a} = 2$। এখান থেকে সমাধান করলে $a = 1$ পাওয়া যায়। এখন $a$-এর এই মানটি প্রতিটি অপশনে বসিয়ে যাচাই করি:

• প্রথম অংশ: $a^2 + \frac{1}{a^2} = (1)^2 + \frac{1}{(1)^2} = 1 + 1 = 2$
• বামপক্ষ ও ডানপক্ষ: $a^3 + \frac{1}{a^3} = (1)^3 + \frac{1}{(1)^3} = 1 + 1 = 2$
• একইভাবে অন্য সমীকরণগুলো হিসাব করলেও উভয়পক্ষ সমান অর্থাৎ $2$ পাওয়া যায়।

যেহেতু প্রতিটি অপশনের মানই সমান হয়, তাই সবগুলো উত্তরই সঠিক।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬০, ৭২। খুব সহজেই এই অংকটা সমাধান করা যায়:

• ধরি, অনুপাতের সংখ্যা দুটি $5x$ এবং $6x$।
• সংখ্যা দুটির লসাগু হবে: $5 \times 6 \times x = 30x$।
• শর্তমতে, $30x = 360$, তাহলে $x = \frac{360}{30} = 12$।
• এখন $x$-এর মান বসিয়ে সংখ্যা দুটি পেয়ে যাই: একটি $5 \times 12 = 60$ এবং অন্যটি $6 \times 12 = 72$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $2\sqrt{5}$। লগারিদমের সংজ্ঞা খুব সহজেই প্রয়োগ করে এর মান বের করা যায়।

• ধরি, লগের ভিত্তি $= x$
• প্রশ্নমতে, $\log_{x} 400 = 4$
• লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী লেখা যায়, $x^4 = 400$
• এখন $400$-কে ভাঙালে পাই, $400 = 20^2 = (2\sqrt{5})^4$
• সুতরাং, $x^4 = (2\sqrt{5})^4$ হলে ভিত্তি $x = 2\sqrt{5}$ হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\{p, q\}$। কারণ সমীকরণটিকে খুব সহজেই উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়:

• প্রথমে মূল সমীকরণটি লিখি: $x^2 - (p + q)x + pq = 0$
• মিডল টার্ম বা উৎপাদকে ভেঙে পাই: $x^2 - px - qx + pq = 0$
• এবার কমন নেই: $x(x - p) - q(x - p) = 0$
• উৎপাদক দুটি হলো: $(x - p)(x - q) = 0$
• সুতরাং, $x = p$ অথবা $x = q$, যা থেকে সমাধান সেট আসে $\{p, q\}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: 0। অংকটা খুব সহজেই সমাধান করা যায় যদি আমরা উভয়পক্ষের বেজ বা ভিত্তি এক করে নিই।

• প্রথমে সমীকরণটি লিখি: $(25)^{2x+3} = 5^{3x+6}$
• যেহেতু $25 = 5^2$, তাই বামপক্ষকে লেখা যায়: $(5^2)^{2x+3} = 5^{3x+6}$
• ঘাতের ওপর ঘাত থাকলে গুণ হয়, তাই বামপক্ষ হয়: $5^{4x+6} = 5^{3x+6}$
• এখন উভয়পক্ষের বেজ $5$ সমান হওয়ায়, তাদের পাওয়ার বা সূচকগুলোও সমান হবে: $4x + 6 = 3x + 6$
• $4x - 3x = 6 - 6$
• অতএব, $x = 0$

খুব সহজেই শর্টকাটে এভাবে ভিত্তি মিলিয়ে নিলেই মান বের হয়ে আসে!

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৫। খুব সহজেই এটি বের করা যায়:

• প্রথমে $P$ এবং $Q$ এর কার্তেসীয় গুণন বা কার্তেসীয় প্রোডাক্ট ($P \times Q$) বের করতে হবে।
• যেহেতু $P$-তে উপাদান সংখ্যা $2$ এবং $Q$-তে উপাদান সংখ্যা $2$, তাই এদের গুণফলের মোট উপাদান সংখ্যা হবে $2 \times 2 = 4$ টি।
• এরপর এই সেটের সাথে $R$ সেটের ইউনিয়ন বা সংযোগ সেট ($P \times Q \cup R$) করতে হবে, যেখানে $R$-এর উপাদান সংখ্যা হলো $2$ টি (অর্থাৎ $3$ এবং $4$)।
• দুটি সেটের সংযোগে সাধারণ উপাদানগুলো একবারই কাউন্ট হয়। হিসাব করলে দেখা যায় এই নতুন সেটে মোট ভিন্ন উপাদান থাকে ঠিক ৫ টি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 100। খুব সহজেই এটি বের করা যায় একটি দারুণ শর্টকাটের মাধ্যমে।

প্রথম $n$ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল বের করার নিয়ম হলো সংখ্যাগুলোর পরিমাণের বর্গ অর্থাৎ $n^2$।

• এখানে বিজোড় সংখ্যার পরিমাণ, $n = 10$
• সুতরাং, প্রথম দশটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল হলো: $10^2 = 100$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{1}{13}$। খুব সহজেই বিষয়টি এভাবে ভাবা যায়:

• ভালোমতো খেয়াল করলে দেখবে, ৫২টি তাসের একটি প্যাকেটে মোট টেক্কা থাকে ৪টি।
• তাহলে একটি তাস তুললে সেটি টেক্কা হওয়ার অনুকূল ফলাফল হলো $4$টি।
• এবার সম্ভাবনার সূত্র অনুযায়ী কাটাকাটি করলেই উত্তর পেয়ে যাবে:

$$\text{সম্ভাবনা} = \frac{\text{অনুকূল ফলাফল}}{\text{মোট ফলাফল}} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $9\sqrt{3}$। খুব সহজেই এটি বের করতে আমরা সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি।

• সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি হলো: $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{বাহুর দৈর্ঘ্য})^2$
• এখানে বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে $6$ সে. মি.।
• সূত্রে মান বসিয়ে পাই: $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (6)^2$
• অর্থাৎ, $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}$ বর্গ সে. মি.।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{\sqrt{5}}{3}$। খুব সহজেই ত্রিকোণমিতির সূত্র দিয়ে এটি বের করা যায়:

• আমরা জানি, $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$
• সুতরাং, $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A}$
• মান বসিয়ে পাই, $\cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$