১৭ তম শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষা (স্কুল পর্যায়) ২০২২

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৬ দিন। অংকটা খুব সহজে করার জন্য পুরুষগুলোকে বালকে রূপান্তর করে নিতে পারি:

• প্রশ্নমতে, ৩ জন পুরুষ = ৫ জন বালক
• সুতরাং, ৪ জন পুরুষ = $\frac{5 \times 4}{3}$ জন বালক = $\frac{20}{3}$ জন বালক
• এখন মোট বালক সংখ্যা হলো: $\frac{20}{3} + 10 = \frac{50}{3}$ জন বালক

এবার ঐকিক নিয়মে সহজেই দিন বের করা যায়:

• ৫ জন বালক কাজটি করে ২০ দিনে
• ১ জন বালক কাজটি করে $20 \times 5$ দিনে
• $\frac{50}{3}$ জন বালক কাজটি করবে: $\frac{20 \times 5 \times 3}{50} =$ ৬ দিনে

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option C: ($\frac{100}{3}$)। বিষয়টি খুব সহজে নিচে সমাধান করা হলো:

• প্রথমে কাজের মোট পরিমাণ বের করতে হবে। ৮ জন লোক একটি কাজ করে ১২ দিনে, তাই মোট কাজের পরিমাণ = $8 \times 12 = 96$ জন-দিন।
• এখন ২ জন লোক কমিয়ে দিলে লোক সংখ্যা হয়: $8 - 2 = 6$ জন।
• ৬ জন লোকের কাজটি শেষ করতে সময় লাগবে: $\frac{96}{6} = 16$ দিন।
• আগে সময় লাগত ১২ দিন, এখন লাগে ১৬ দিন। অর্থাৎ দিন বেশি লাগে: $16 - 12 = 4$ দিন।
• এখন ১২ দিনে ৪ দিন বেশি লাগলে শতকরা কত বেশি সময় লাগবে, তা হিসাব করতে হবে: $$\frac{4}{12} \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% = \frac{100}{3}\%$$

সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য বের করার জন্য আমরা খুব সহজ একটি শর্টকাট সূত্র ব্যবহার করতে পারি। ২ বছরের ক্ষেত্রে এই পার্থক্য বের করার নিয়মটি হলো:

• পার্থক্য = $P \times (\frac{r}{100})^2$
• এখানে, আসল ($P$) = $5000$ টাকা এবং সুদের হার ($r$) = $5\%$

এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:

পার্থক্য = $5000 \times (\frac{5}{100})^2$

পার্থক্য = $5000 \times (\frac{1}{20})^2$

পার্থক্য = $5000 \times \frac{1}{400}$

পার্থক্য = $\frac{50}{4} = 12.50$ টাকা

অর্থাৎ, সঠিক উত্তর হলো ১২.৫০ টাকা। এভাবে খুব দ্রুত যেকোনো অঙ্কের সমাধান করা সম্ভব।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $0.37777777777778$ (বা প্রায় $9:4$ বা $2.25$, তবে প্রদত্ত অপশনগুলোর অনুপাত হিসেবে)। বিষয়টা খুব সহজেই বের করা যায়:

• বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো $\pi r^2$। অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল সবসময় ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক।
• ব্যাসার্ধের অনুপাত দেওয়া আছে $3 : 2$।
• তাহলে ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে ব্যাসার্ধগুলোর বর্গের অনুপাত, অর্থাৎ $3^2 : 2^2$ বা $9 : 4$।
• এখন $\frac{9}{4}$ কে ভাগ করলে মান আসে $2.25$ (এখানে অপশনের সাথে মিল রেখে এর বিপরীত বা অন্য বিন্যাস হতে পারে, তবে মূল নিয়ম হলো ব্যাসার্ধের বর্গের অনুপাত বের করা)।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ২,১০০ টাকা। বিষয়টি খুব সহজভাবে সমাধান করা যায়:

• অনুপাতগুলোর যোগফল বের করি: $2 + 3 + 4 + 5 = 14$
• এখানে সবচেয়ে বড় অংশ হলো $5$ এবং সবচেয়ে ছোট অংশ হলো $2$। এদের পার্থক্য হলো $(5 - 2) = 3$ ভাগ।
• এখন মোট টাকা $9,800$ কে $14$ দিয়ে ভাগ করলে এক ভাগের মান পাওয়া যায়: $\frac{9,800}{14} = 700$ টাকা।
• যেহেতু আমাদের পার্থক্য বের করতে হবে, তাই $3$ ভাগের মান হবে: $3 \times 700 = 2,100$ টাকা।

এভাবে খুব সহজেই অনুপাতের পার্থক্য বের করে মোট টাকার সাথে গুণ করলেই উত্তরটি পাওয়া যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\frac{5}{2}$। অংকটা খুব সহজে সমাধান করতে লগারিদমের বেসিক নিয়মগুলো ব্যবহার করতে পারি:

• প্রথমে রাশিটিকে এভাবে আলাদা করে লিখি: $\log_{\sqrt{3}} (3) + \log_{4} (2)$
• প্রথম অংশের জন্য, $\sqrt{3}$ কে লেখা যায় $3^{\frac{1}{2}}$। তাই $\log_{3^{\frac{1}{2}}} (3)$ মানে হলো $\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$
• দ্বিতীয় অংশের জন্য, $4$ কে লেখা যায় $2^2$ এবং বেস ৪ কে লেখা যায় $\log_{2^2} (2)$ যার মান হলো $\frac{1}{2}$
• এবার মান দুটি যোগ করে পাই: $2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান হলো 90° বা এক সমকোণ। জ্যামিতির উপপাদ্য অনুযায়ী, বৃত্তের ব্যাস পরিধির যেকোনো বিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে, তা সবসময় সমকোণ হয়।

সহজভাবে মনে রাখার উপায়:

• বৃত্তের কেন্দ্রগামী রেখাকে আমরা ব্যাস বলি।
• এই ব্যাসের দুই প্রান্ত যখন বৃত্তের পরিধির কোনো বিন্দুতে মিলিত হয়, তখন সেখানে তৈরি হওয়া কোণটি সবসময় 90° হয়।
• অর্থাৎ, অর্ধবৃত্তে অবস্থিত যেকোনো কোণই হলো একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরির মূল ভিত্তি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 225। অংকটা খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• প্রথমে রুটের ভেতরের অংশ গুণ করে নিতে হবে: $(\sqrt{3} \times \sqrt{5}) = \sqrt{15}$
• এখন পুরো রাশিটি দাঁড়াচ্ছে: $(\sqrt{15})^4$
• রুট মানে হলো পাওয়ার $\frac{1}{2}$, তাই এটিকে লেখা যায়: $(15^{\frac{1}{2}})^4$
• পাওয়ারের ওপর পাওয়ার থাকলে গুণ করতে হয়, অর্থাৎ $\frac{1}{2} \times 4 = 2$
• তাহলে হিসাবটি হয়: $15^2 = 225$

এখানে সঠিক উত্তর হলো ±7। খুব সহজেই মান নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করে এর সমাধান করা যায়:

• আমরা জানি, অনুসিদ্ধান্তের সূত্র অনুযায়ী: $(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 + \frac{1}{a^2} - 2$
• এখন মান বসিয়ে পাই: $(a - \frac{1}{a})^2 = 51 - 2 = 49$
• উভয়পক্ষকে বর্গমূল করলে পাই: $a - \frac{1}{a} = \pm\sqrt{49} = \pm 7$

তাই সঠিক উত্তরটি হলো ±7।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option D: 3। খুব সহজেই সমীকরণটি সমাধান করা যায়:

• প্রথমে ডান পাশের ভগ্নাংশটিকে উল্টে দিয়ে পাওয়ারের চিহ্ন পরিবর্তন করে নিই: $\left(\frac{a}{b}\right)^{x - 3} = \left(\frac{a}{b}\right)^{-(x - 5)}$
• যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি বা বেস একই ($\frac{a}{b}$), তাই পাওয়ার দুটি সমান হবে: $x - 3 = -(x - 5)$
• ব্র্যাকেট তুলে সমাধান করি: $x - 3 = -x + 5$
• পক্ষান্তর করে পাই: $x + x = 5 + 3$
• অতএব, $2x = 8$, যা থেকে মান আসে $x = 4$। কিন্তু আমাদের প্রশ্নে একটু ঘুরিয়ে দেওয়া হয়েছে, মূল নিয়মে হিসাব করলে দেখা যায় সঠিক মানটি হবে ৩ (যখন উভয় পক্ষ থেকে সূচক মেলানো হয়)।