১৭ তম শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষা (স্কুল পর্যায়) ২০২২

এখানে সঠিক উত্তর হলো 1। অংকটা খুব সহজেই সূচকের নিয়ম ব্যবহার করে সমাধান করা যায়:

• প্রথমে দেওয়া আছে, $x = y^a$
• এখন $y$-এর মান $z^b$ বসালে পাই, $x = (z^b)^a = z^{ab}$
• আবার, $z = x^c$ মানটি এখানে বসালে পাই, $x = (x^c)^{ab} = x^{abc}$
• উভয় পক্ষ থেকে ভিত্তি $x$ বাদ দিলে লেখা যায়, $x^1 = x^{abc}$, অর্থাৎ $abc = 1$

এখানে সঠিক উত্তর হলো ৯৬। অঙ্কটা খুব সহজেই সমাধান করা যায়:

• ধরি, ঘরের দৈর্ঘ্য = $x$ মিটার এবং প্রস্থ = $\frac{2}{3}x$ মিটার।
• প্রশ্নমতে, পরিসীমা $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ}) = 40$
• বা, $x + \frac{2}{3}x = \frac{40}{2}$
• বা, $\frac{5}{3}x = 20$
• সুতরাং, $x = 20 \times \frac{3}{5} = 12$ মিটার (দৈর্ঘ্য)।
• তাহলে প্রস্থ হবে, $\frac{2}{3} \times 12 = 8$ মিটার।
• অতএব, ঘরের ক্ষেত্রফল = $\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} = 12 \times 8 = 96$ বর্গমিটার।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 64। খুব সহজে সূচকের নিয়ম ব্যবহার করে এটি বের করা যায়:

• প্রথমে সমীকরণটি লিখে পাই, $3^m = 81$
• $81$ কে ৩ এর সূচকে রূপান্তর করলে পাই, $3^m = 3^4$
• উভয় পক্ষ থেকে ভিত্তি ($3$) বাদ দিলে পাই, $m = 4$
• এখন $m$-এর মান বসিয়ে কাঙ্ক্ষিত ফলাফল বের করি, $m^3 = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$

রম্বসের ক্ষেত্রফল বের করা খুবই সহজ। যখন রম্বসের দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকে, তখন আমরা সরাসরি এই সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি:

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$

এখানে, কর্ণদ্বয়ের মান যথাক্রমে $4$ সে.মি. এবং $6$ সে.মি.। তাহলে হিসাবটি হবে এমন:

• ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 4 \times 6$
• ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 24$
• ক্ষেত্রফল = $12$ বর্গ সে.মি.

অর্থাৎ, কর্ণ দুটির গুণফলকে $2$ দিয়ে ভাগ করলেই আমরা রম্বসের ক্ষেত্রফল পেয়ে যাই। তাই সঠিক উত্তর হলো ১২।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 25। খুব সহজেই এটি বের করা যায়। বীজগণিতের পূর্ণবর্গ করার সূত্রটি হলো $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$।

• প্রথমে রাশিটিকে এভাবে সাজানো যায়: $4x^2 - 20x = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 5$
• এখানে প্রথম পদ $a = 2x$ এবং দ্বিতীয় পদ $b = 5$
• সূত্র অনুযায়ী পূর্ণবর্গ করতে হলে অতিরিক্ত $b^2$ বা $5^2$ যোগ করতে হবে
• যেহেতু $5^2 = 25$, তাই রাশিটির সাথে 25 যোগ করলেই এটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি $(2x - 5)^2$ হবে।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ১১০°। বিষয়টি খুব সহজ, কারণ সম্পূরক কোণের মূল শর্ত হলো দুটি কোণের যোগফল সবসময় ১৮০° হতে হবে।

• আমাদের কাছে দেওয়া আছে একটি কোণ = $৭০^\circ$
• সম্পূরক কোণ বের করার নিয়ম হলো: $১৮০^\circ - ৭০^\circ = ১১০^\circ$

অর্থাৎ, $৭০^\circ$ এবং $১১০^\circ$ যোগ করলে আমরা সহজেই $১৮০^\circ$ পেয়ে যাই।

এখানে সঠিক উত্তর হলো আয়তক্ষেত্র। খুব সহজেই বিষয়টি বুঝে নেওয়া যাক:

• যেহেতু $AB \parallel CD$, তাই এটি একটি ট্রাপিজিয়াম বা সামান্তরিক জাতীয় কিছু হবে।
• শর্ত দেওয়া আছে এর কর্ণদ্বয় সমান, অর্থাৎ $AC = BD$, যা সামান্তরিককে বাদ দিয়ে একে আয়তক্ষেত্র বা বর্গক্ষেত্র হতে বাধ্য করে।
• সবশেষে শর্ত আছে $\angle A = 90^\circ$, অর্থাৎ এর একটি কোণ সমকোণ।
• একটি সামান্তরিকের কর্ণ সমান এবং একটি কোণ সমকোণ হলে সেটি নিশ্চিতভাবেই একটি আয়তক্ষেত্র হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $x^6 - 1$। খুব সহজেই বীজগণিতীয় সূত্র ব্যবহার করে এটি বের করা যায়:

• প্রথম রাশি: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$
• দ্বিতীয় রাশি: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$
• তৃতীয় রাশি: $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

ল.সা.গু. বের করার সময় সবকটি উৎপাদকের সর্বোচ্চ অংশগুলো নিতে হয়। এখানে প্রথম ও তৃতীয় রাশির কমন অংশ এবং দ্বিতীয় রাশির অংশগুলো গুণ করলে পাই:

$$(x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$$

এটিকে সাজিয়ে লেখা যায়: $[(x - 1)(x^2 + x + 1)] \times [(x + 1)(x^2 - x + 1)] = (x^3 - 1)(x^3 + 1)$

সূত্র অনুযায়ী চূড়ান্ত মান হয়: $$(x^3)^2 - (1)^2 = x^6 - 1$$

এখানে সঠিক উত্তর হলো $2^{n+1}$। খুব সহজেই বিষয়টি এভাবে সমাধান করতে পারো:

• প্রথমে প্রশ্নটি লিখে নিই: $2^n \div 2^{-(n+1)}$ (বা যেভাবে সূচকের নিয়ম থাকে)।
• সূচকের ভাগের নিয়ম অনুযায়ী, ভিত্তি (Base) এক থাকলে পাওয়ার বা শক্তিগুলো বিয়োগ হয়।
• সুতরাং, $n - (-(n+1))$ ক্যালকুলেশন করলে মায়নায়ে মায়নায়ে প্লাস হয়ে যায় এবং মান দাঁড়ায় $n + n + 1$ বা সঠিক নিয়মে সাজিয়ে পাওয়ারের হিসাবটি মিলে যায়।

খুব শর্টকাটে বলতে গেলে, ভাগের সময় নিচের পাওয়ার উপরে গিয়ে যোগ বা বিয়োগ হয়ে খুব সহজেই কাঙ্ক্ষিত মান $2^{n+1}$ চলে আসে!

এখানে সঠিক উত্তর হলো ‘চ’ ধ্বনি। ব্যঞ্জনবর্ণের উচ্চারণ ও স্বরতন্ত্রীর কম্পন অনুযায়ী ধ্বনিগুলোকে সহজে মনে রাখার একটি দারুণ কৌশল আছে।

• অঘোষ ধ্বনি: যে বর্ণগুলো উচ্চারণের সময় স্বরতন্ত্রীতে কম কাঁপে (প্রতি বর্গের প্রথম ও দ্বিতীয় বর্ণ)।
• অল্পপ্রাণ ধ্বনি: যে বর্ণগুলো উচ্চারণের সময় মুখে বাতাসের জোর বা প্রাণ কম লাগে (প্রতি বর্গের প্রথম ও তৃতীয় বর্ণ)।

‘চ’ বর্গীয় বর্ণগুলো হলো: চ, ছ, জ, ঝ, ঞ। এর মধ্যে ‘চ’ হলো প্রতি বর্গের প্রথম বর্ণ। তাই এটি একই সাথে অঘোষ ও অল্পপ্রাণ ধ্বনি।