উচ্চতর গণিত ১ম পত্র

বিপরীত ফাংশন (Inverse Function) নির্ণয় করার শর্টকাট পদ্ধতি প্রয়োগ করে খুব সহজেই এই সমস্যার সমাধান করা যায়। দেওয়া আছে, \( f(x) = \frac{3 + 6x}{1 - 2x} \)। ধরি, \( f^{-1}(2) = a \), যার অর্থ \( f(a) = 2 \)।

• প্রদত্ত ফাংশনে \( x = a \) বসিয়ে পাই, \( \frac{3 + 6a}{1 - 2a} = 2 \)
• আড়াআড়ি গুণ করে পাই, \( 3 + 6a = 2(1 - 2a) \)
• সমীকরণ সমাধান করে পাই, \( 3 + 6a = 2 - 4a \)
• পক্ষান্তর করে, \( 6a + 4a = 2 - 3 \)
• বা, \( 10a = -1 \)
• অতএব, \( a = -\frac{1}{5} \)

সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হলো Option B: -1/5।

ফাংশনের ন্যূনতম মান নির্ণয় করতে হলে লাইবনিজের সমাকলন সূত্র (Leibniz rule) ব্যবহার করে প্রদত্ত ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ বের করতে হবে।

• দেওয়া আছে, \( f(x) = \int_{0}^{x} (t - 3)(t - 2 + 7) dt \) (প্রশ্নানুসারে সঠিক মান \( 7 \))।
• লাইবনিজের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই, \( f'(x) = (x - 3)(x - 2 + 7) = 0 \)।
• চলকের মান বের করতে ডেরিভেটিভ শূন্য ধরে পাই, \( x = 7 \)।
• দ্বিতীয় অন্তরক পরীক্ষা: \( f''(7) > 0 \) হওয়ায় \( x = 7 \) এর জন্য ফাংশনটির মান ন্যূনতম হবে।