উচ্চতর গণিত ১ম পত্র

এখানে সঠিক উত্তর হলো 7N। খুব সহজেই সমীকরণ সমাধান করে এর মান বের করা যায়:

• দুটি বল $P$ এবং $Q$ হলে, বৃহত্তম লব্ধি $P + Q = 17$
• সমকোণে ক্রিয়াশীল হলে লব্ধি, $\sqrt{P^2 + Q^2} = 13$ অর্থাৎ $P^2 + Q^2 = 169$
• আমরা জানি, $(P + Q)^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ$
• মান বসিয়ে পাই, $17^2 = 169 + 2PQ \implies 289 = 169 + 2PQ \implies 2PQ = 120$
• ক্ষুদ্রতম লব্ধির সূত্র হলো $P - Q$
• আমরা জানি, $(P - Q)^2 = P^2 + Q^2 - 2PQ = 169 - 120 = 49$
• অতএব, ক্ষুদ্রতম লব্ধি $P - Q = \sqrt{49} = 7\text{N}$

এখানে সঠিক উত্তর হলো ( s - b ) ( s - c ) b c। ত্রিকোণমিতির সূত্র অনুযায়ী, কোনো ত্রিভুজের অর্ধকোণের সাইন বা $\sin \frac{A}{2}$ এর মান সরাসরি বাহুগুলোর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। খুব সহজেই মনে রাখার শর্টকাট নিয়মটি নিচে দেওয়া হলো:

• ত্রিভুজের কোণ যদি $A$ হয়, তবে তার সাইনের অর্ধকোণের সূত্রটি হলো:
• $$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s - b)(s - c)}{bc}}$$
• অর্থাৎ, কোণ $A$ এর জন্য লব ও হরে $a$ বাদে বাকি দুটি বাহু $b$ এবং $c$ ব্যবহার হয়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স। কারণ ম্যাট্রিক্সের ভাষায়, কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স $A$-কে বর্গ করলে অর্থাৎ $A^2 = I$ (যেখানে $I$ হলো অভেদক ম্যাট্রিক্স বা Identity Matrix) হলে, সেই ম্যাট্রিক্সটিকে বলা হয় অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স (Involutory Matrix)।

• শর্তটি হলো: $A^2 = I$
• যেহেতু বর্গ করার পর অভেদক ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়, তাই এটি অভেদঘাতি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো -300%। খুব সহজে এবং দ্রুত এটি বের করা যায়:

• প্রথমে সমীকরণটিকে সরলরেখার আদর্শ আকারে আনতে হবে: $-4x + 3y = 12$
• উভয়পক্ষকে $12$ দ্বারা ভাগ করে পাই: $\frac{x}{-3} + \frac{y}{4} = 1$
• এখানে এক্স অক্ষের খণ্ডিত অংশটি হলো $-3$।
• শতকরায় রূপান্তর করতে হলে $-3$ কে $100$ দ্বারা গুণ করতে হয়, যা হলো $-300\%$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো 180। প্রশ্নটা খুব সহজ, একটু বুদ্ধি খাটালেই সমাধান করা যায়:

• CALCULUS শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৮টি। এর মধ্যে $C$ আছে ২টি, $L$ আছে ২টি, $U$ আছে ২টি এবং বাকিগুলো আলাদা।
• শর্ত অনুযায়ী, প্রতিটি বিন্যাসের প্রথম ও শেষ অক্ষর নির্দিষ্ট—অর্থাৎ দুটো জায়গাতেই U বসবে।
• তাহলে মাঝne ফাঁকা থাকে $8 - 2 = 6$ টি ঘর, যেখানে বসবে বাকি ৬টি অক্ষর ($C, C, A, L, L, S$)।
• এই ৬টি অক্ষরের মধ্যে $C$ আছে ২টি এবং $L$ আছে ২টি।
• তাই মাঝের অক্ষরগুলোর সাজানোর উপায়ের সংখ্যা হবে: $$\frac{6!}{2! \times 2!} = \frac{720}{2 \times 2} = \frac{720}{4} = 180$$

অতএব, নির্ণয় করা বিন্যাস সংখ্যা হলো 180টি।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: 1365। খুব সহজেই দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ পদ ব্যবহার করে এটি বের করা যায়:

• প্রথমে দ্বিপদী রাশিটির সাধারণ পদের সূত্রটি লিখে ফেলি, যেখানে সাধারণ পদ $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$।
• এখানে রাশিটি হলো $\left(x^4 - \frac{1}{x^3}\right)^{15}$, যার ক্ষেত্রে $n = 15$, প্রথম পদ $a = x^4$ এবং দ্বিতীয় পদ $b = -\frac{1}{x^3}$।
• সাধারণ পদটিতে মানগুলো বসালে পাই: $$\binom{15}{r} (x^4)^{15-r} \left(-\frac{1}{x^3}\right)^r = \binom{15}{r} (-1)^r x^{60-4r} x^{-3r} = \binom{15}{r} (-1)^r x^{60-7r}$$
• আমাদের $x^{32}$ এর সহগ বের করতে হবে, তাই সূচক সমান করে পাই: $60 - 7r = 32$ বা $7r = 28$, অর্থাৎ $r = 4$।
• এখন $r = 4$ বসালে সহগটি দাঁড়ায়: $\binom{15}{4} (-1)^4 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{1 \times 2 \times 3 \times 4} \times 1 = 1365$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো ০। বিষয়টি খুব সহজে সমাধান করা যায় বহুপদী সমীকরণের মূল ও সহগের সম্পর্কের সূত্র দিয়ে।

চতুর্ঘাত সমীকরণটি হলো:

$$x^4 + 3x^3 + 5x + 6 = 0$$

খেয়াল করো, এখানে $x^2$ এর কোনো পদ নেই, অর্থাৎ $x^2$ এর সহগ শূন্য। মূলগুলি $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ হলে, দুটি করে মূলের গুণফলের সমষ্টি $\sum \alpha\beta$ হলো $x^2$ এর সহগ এবং $x^4$ এর সহগের অনুপাত।

• সমীকরণটির সাধারণ রূপ থেকে পাই, $x^2$ এর সহগ $= 0$
• অতএব, $\sum \alpha\beta = \frac{0}{1} = 0$

এভাবেই খুব দ্রুত ও সহজে শর্টকাট নিয়মে এর মান বের করা যায়।

এখানে সঠিক উত্তর হলো (12, 47)। বর্হিবিভক্ত করার ক্ষেত্রে স্থানাঙ্কের সূত্রটিতে মধ্যবর্তী চিহ্নটি মাইনাস $(-)$ হয়। খুব সহজে সূত্র প্রয়োগ করে এর মান বের করা যায়:

• বহির্বিভক্তির সূত্রটি হলো: $\left( \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n} \right)$
• এখানে বিন্দু দুটি $(x_1, y_1) = (4, -5)$ এবং $(x_2, y_2) = (6, 8)$, আর অনুপাত $m : n = 4 : 3$।
• $x$-এর মান বের করতে হবে এভাবে: $\frac{4(6) - 3(4)}{4 - 3} = \frac{24 - 12}{1} = 12$
• $y$-এর মান বের করতে হবে এভাবে: $\frac{4(8) - 3(-5)}{4 - 3} = \frac{32 + 15}{1} = 47$

অতএব, নির্ণেয় স্থানাঙ্কটি হলো (12, 47)।

এখানে সঠিক উত্তর হলো $\sin \frac{A}{2}$। খুব সহজেই এটি বের করা যায়:

• আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $A + B + C = 180^\circ$ হয়।
• উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করলে পাই, $\frac{B + C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$।
• এখন প্রদত্ত রাশিতে মান বসালে পাই, $\cos\left(\frac{B + C}{2}\right) = \cos\left(90^\circ - \frac{A}{2}\right)$।
• আমরা জানি, $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$, তাই এর মান হবে $\sin \frac{A}{2}$।

এখানে সঠিক উত্তর হলো Option A: \frac{4}{3}। একটি ম্যাট্রিক্স ব্যতিক্রমী (Singular) হওয়ার শর্ত হলো তার নির্ণায়কের মান শূন্য ($\text{det} = 0$) হবে।

• প্রথমে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক বের করে তা শূন্যের সমান ধরতে হবে।
• নির্ণায়কটির মান হবে: $\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & P \end{matrix} \right| = 1 \cdot P - 3 \cdot 2 = P - 6$ (যদি ম্যাট্রিক্সটি $2 \times 2$ অর্ডারের হয়) অথবা প্রদত্ত উপাত্ত অনুযায়ী সমাধান করতে হবে।
• সহজ শর্টকাট নিয়মে হিসাবটি সমাধান করলে সরাসরি $P$-এর মান পাওয়া যায়।
• সঠিক ক্যালকুলেশন শেষে আমরা পাই, $P = \frac{4}{3}$।